斐 波 拉 契 数 列
一、斐波拉契数列的出现
“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？” 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对; 两个月后，生下一对小兔民数共有两对;
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对; －－－－－－ 依次类推可以列出下表： 经过月数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子对数：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。
这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有21n n n a a a ++=+的性质外，
11122n
n
n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ (n=1,2,3.....） 这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。
而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。
于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。
大家都叫它“斐波拉契数列”，又称“兔子数列”。
二、斐波拉契数列的某些性质
1、随着数列项数的增加，前一项与后一项之比的比值逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n-1)/f(n)-→0.618…。
2、从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
3、如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么6 4＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、1 3正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不易注意到。
4、斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
这个数列有许多奇特的的性质，例如，从第3个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近于0.618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割律”相吻合。
人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。
5、任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积（内积）与两边两数之积（外积）相差1.
三、斐波拉契数列的存在
■1．杨辉三角对角线上各数之和构成斐波拉契数列．
■2．多米诺牌（可以看作一个2×1大小的方格）完全覆盖一个n×2的棋盘，覆盖的方案数等于斐波拉契数列。
■3．从蜜蜂的繁殖来看，雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰。
人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是斐波拉契数列的第n项Fn。
■4．钢琴的13个半音阶的排列完全与雄蜂第六代的排列情况类似，说明音调也与斐波拉契数列有关。
■5．自然界中一些花朵的花瓣数目符合于斐波拉契数列，也就是说在大多数情况下，一朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21, 34,……(有6枚是两套3枚;有4枚可能是基因突变)。
■6．如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个斐波拉契数列．
四、斐波拉契数列与黄金分割
斐波拉契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个斐波拉契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n-1)/f(n)-→0.618…。
由于斐波拉契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的斐波拉契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
不仅这个由1,1,2,3,5....开始的"斐波拉契数"是这样,随便选两个整数,然后按照斐波拉契数的规律排下去,两数间比也
是会逐渐逼近黄金比的．
帕多瓦数列的三角形
【斐波拉契数列的变式】■１.帕多瓦数列：1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……这样的数列称为帕多瓦数列。
它和斐波拉契数列非常相似，稍有不同的是：每个数都是跳过它前面的那个数，并把再前面的两个数相加而得出的。
这个数列可以用另一幅图来表示，它是由一些等边三角形构成的(如右图)。
开始的三角形用灰色表示，为了使这些三角形天衣无缝地拼在一起，头三个三角形的边长均为1，其后的两个三角形的边长为2，然后依次是3、4、5、7、9、1 2、16、2l……等等。
■２.冬冬有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
如果冬冬有3块糖、4块糖或者5块糖，都只有1种吃法；如果有6块糖，则有2种吃法；如果有7块糖，则有3种吃法；如果有8块糖，则有4种吃法；如果有9块糖，则有6种吃法．
既：吃糖的粒数：３４５６７８９１０１１１２．．．
糖的吃法：１１１２３４６９１３１９．．．
这样的数列，它和斐波拉契数列不同的是，每次都是跳过中间的那个数，再把第1、3两个数相加，等于第4个数。
它的规律和斐波拉契数列既相似之处又有不同之处．■３.小明要上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？
这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有五级楼梯，他有7种走法．
既：楼梯的级数：１２３４５６７８．．．上楼梯的走法：１２４７１３２４４４
８１．．．
这其中的规律就是，这里从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。