a1＋p2 a1＋p 是以 ∴bn＋ 为首项， (1＋p)为公比的等比数列， p p
a ＋ 于是 bn＝ [(1＋p)n 1－(1＋p)]． 即这个家庭到 2022 年年初本利 p a 可达 [(1＋p)11－(1＋p)]元． p
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题型三 等差、等比数列的综合应用
【例3】 (本题满分12分)假设某市2012年新建住房400万 m2， 其中有250万 m2是中、低价房．预计在今后的若干年内， 该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新 建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万 m2.那 么，到哪一年底， (1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万 m2? (2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房 面积的比例首次大于85%? 审题指导 第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数 列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的 最小正整数解．
3．分期付款问题
贷款 a 元，分 m 个月将款全部付清，月利率为 r，各月所付款 额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那
ar1－r m 1＋r m－1 么每月付款款额为：___________.
想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种 数列对应？ 提示 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单 利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
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自学导引
1． 有关增长率、利率等的计算
增长量 增长前的量 (1)增长率＝____________；
购买商品获得的优惠额 商品标价 (2)优惠率＝_______________________；
利息 存款额 (3)存款利率＝_________.
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试一试：什么情况下建立数列模型？ 提示 根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正 整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来 解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资 产折旧等问题都属于数列问题模型． 2．有关储蓄的计算 储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本 公式是：利息＝本金×存期×利率． 根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算 公式为：应纳税额＝利息全额×税率． (1)整存整取定期储蓄 一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q， nApq nAp 则到期时，所得利息为：_____，应纳税为______，实际取出 nAp(1－q)＋A 金额为：_____________.
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【训练1】 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有 水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全 部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一 个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放 水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关 闭的这个水龙头放水多少时间？ 解 设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依 次为x1，x2，…，xn. 由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1， ∴数列{xn}成等差数列，
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【解题流程】
[规范解答] (1)设中、低价房面积形成数列{an}，由题意 可知{an}是等差数列， nn－1 其中 a1＝250，d＝50，则 Sn＝250n＋ ×50＝25n2＋ 2
225n，(2 分)
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数， ∴n≥10.(4分) ∴到2021年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次 不少于4 750万 m2.(5分)
§4
数列在日常经济生活中的应用
【课标要求】 正确理解储蓄及利息的计算方法． 1． 了解并掌握购房贷款中的相关知识． 2． 明确现行银行的还款方式． 3．
【核心扫描】 能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题．(重点、 1． 难点) 了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经 2． 济行为的含义．(重点)
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题型一
等差数列模型(单利问题)
【例1】 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购 买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购 房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后 为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款 全部付清后实际共付多少元？ [思路探索] 先将实际问题转化为数学问题，这是一个等 差数列问题，用等差数列来解决．
≈7 141(元)．∴每年需付款 7 141 元．
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规律方法 求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列 问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运 算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要 符合题设中实际问题的需要．
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【训练2】 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2012年 起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复 利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出，共取回 多少元？
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(2)定期存入零存整取储蓄 每期初存入金额 A，连存 n 次，每期利率为 p，税率为 q，则到第 n 1 1 n(n＋1)Ap n(n＋1)Apq 期末时， 应得到全部利息为：2 __________， 应纳税为：2 _____________，
1 n(n＋1)Ap(1－q) 2 实际受益金额为_________________．
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2．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定 的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是 公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x， 则本利和y＝a(1＋xr)．
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1 每个水龙头 1 min 放水 (这里不妨设水池的容积为 1)， 24n 1 ∴ · ＋x2＋…＋xn)＝1， (x 24n 1 nx1＋xn ∴ ＝24n，∴x1＋xn＝48. 2 又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴xn＝40(min)， 故最后关闭的水龙头放水 40 min.
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解 从2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设 第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1 ＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为 a1＋p a1＋p bn＋1＋ ＝(1＋p)bn＋ ， p p
a1＋p a1＋p2 其中 b1＋ ＝ . p p
(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百 分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公 an＋1－an 比，其一般形式是： ×100%＝q(常数)． an
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例如：①银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期 为x，则本利和y＝a(1＋r)x. ②产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y ＝N(1＋p)x. (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列 的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加 (或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型 为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
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解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还 清，每次付款数组成数列{an}， 则a1＝2＋(25－5)· 10%＝4(万元)； a2＝2＋(25－5－2)· 10%＝3.8(万元)； a3＝2＋(25－5－2×2)· 10%＝3.6(万元)； …；
n－1 an＝2＋[25－5－(n－1)· 10%＝4－ 2]· (万元)(n＝1,2， …， 5
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(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，(8分) 由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)50>400×(1.08)n－1×0.85.(10 分) 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6， ∴到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面 积的比例首次大于85%.(12分) 【题后反思】 解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审 题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知 识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型 还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.
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名师点睛
1．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图：
1 10)．因而数列{an}是首项为 4.公差为－ 的等差数列．a5＝4 5 5－1 － ＝3.2(万元)． 5
1 10×10－1×－ 5
S10＝10×4＋
2
＝31(万元)．
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31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付 清后实际共付36万元． 规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决 该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额； (2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额 相同； (3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内 利息的计算公式．