i 1 n
(s (s
zi ) pj)
1 Kg
j 1
m
m
N s D s
(s zi )
i 1 n
(s pj )
li
i 1 b
Lj
j 1
j 1
开环有限零点到s点的矢量长度之积 1 开环极点到s点的矢量长度之积 Kg
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 15
m
根轨迹方程：
N(s) D(s)
i 1 n
(s (s
zi ) pj)
1 Kg
j 1
辐角条件：（充分必要条件）
与Kg 无关
N s m
n
m
n
D s
(s zi ) (s pj ) i j
i1
j 1
i 1
j 1
180o (1 2) ( 0,1, 2,L L )
式中： —i 第i个开环有限零点到s点的矢量辐角；
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件，实际上还是 不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找出根轨迹的一些 基本规律。
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 18
4.2 根轨迹的绘制法则
4.2.1 绘制根轨迹的一般法则
1．起点（Kg= 0）
1
1
2020年5月22日
1 1
第四章 根轨迹法 4
m
Kg s zi
一个美好的愿望D：s 1WK (s) 1
i 1 n
s pj
0
n
m
j 1
s pj Kg s zi 0
j 1
i 1
求解难！
开环传递函数(开环零、极点+开环增益)来自闭环零极点全部可能的分布图
用时域分析法分析系统的三性
应用到根轨迹的绘制过程中；
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 3
闭环极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
D(s) = 1 + Wk (s) = 0
发现问题：控制系统分析的关键是找到闭环极点！ 提出问题：是否存在其他非解析的方法求得闭环极点？ 解决问题：通过开环零0极 点1来求得闭环 极0 点1。 0
2020年5月22日
零极点 形式
第四章 根轨迹法 12
闭环系统特征方程式为
DB
s
1 WK
(s)
1
Kg N(s) D(s)
0
根轨迹
方程
或可写作
m
N (s) D(s)
i1 n
(s (s
zi ) pj)
1 Kg
j1
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 13
这个方程式表达了开环传递函数与闭环特 征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根， 因此该式又称为根轨迹方程。
根轨迹的特点：
1、根轨迹上的点均为闭环极点。
2、直观地表示了参数 K变k 化时，
闭环特征根的变化。 3、利用根轨迹可使我们在广泛的
范围内了解系统的稳定性及动 态特性。分析系统性能。
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 10
1稳定性:当Kk: 0 变化时，
根轨迹（闭环极点）均在左半平面， 因此系统对所有Kk值均是稳定的。
当KK取不同值时，闭环特征根如下：
Kk
s1
0
0
s1 1 1 2Kk
s2
s2 1 1 2Kk
-2
0.5
-1
-1
1
-1+j
-1-j
2
-1+j 3
-1-j 3
-1+j
-1-j
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 9
K由k 0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的
轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。
第四章 根轨迹法 6
4.1 根轨迹法的基本概念
1、什么是根轨迹
例4.1
单位反馈二阶系统
Wk
(s)
Kk
s 0.5s
1
闭环传递函数
WB
(s)
s2
2Kk 2s
2Kk
特征方程 闭环极点
2020年5月22日
D(s) s2 2s 2Kk 0
s1 1 1 2Kk s2 1 1 2Kk
第四章 根轨迹法 8
第四章 根轨迹法
Root-locus analysis
2020年5月22日
(8学时) 信息学院
二○一五年十一月
第四章 根轨迹法 1
主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 2
学习重点
❖ 了解根轨迹的基本特性和相关概念； ❖ 掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地
令 s=σ+jω 代入可得复数方程：
m
N(s) D(s)
i 1 n
(s zi ) (s pj )
1 Kg
j 1
注意：s为闭环传函
的特征根(极点)，-zj 和-pi为开环传函的零 点和极点。
复数 幅值和相角
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 14
根轨迹方程： 幅值条件：
m
N(s) D(s)
1
2020年5月22日
1、解二阶方程求得根轨迹。 2、通过检验是否满足幅角
条件来求得根轨迹。
S1 : 1 3 180o 2 3 1 2 180o
S1不满足幅角条件，因此 不是根轨迹上的点。
第四章 根轨迹法 17
说明
•相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件。绘 制根轨迹时，只需要使用相角条件。当需要确定根轨 迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
2暂态性能：由K k 值变化对应闭
环极点的分布定性的给出分析。当
0 < K k ≤0.5时，根轨迹在实轴上，
输出响应单调的。当Kk > 0.5时，根 轨迹在复平面内，输出响应振荡的。
3 稳态特性：开环传函在原点有
一极点，I型系统，根轨迹上的K k
值即为静态误差系数。
可见：根轨迹是分析系统的有力工具。
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 5
根轨迹法
一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。 它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部 数值关系的方法。
1948年，由伊文思（W. R. Evans）提出。
根轨迹法的任务
由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法 确定闭环极点。
2020年5月22日
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 11
2、根轨迹方程（根轨迹满足的基本条件）
控制系统结构如图
开环传递函数:
根轨迹型
m
WK
(s)
K1K2 N1(s)N2 (s) D1(s)D2 (s)
Kg
n
(s
i1
(s
zi ) pj)
Kg N(s) D(s)
j1
式中：zi ——开环零点；
—p j —开环极点； K—g —根轨迹放大系数。
—第 ji个开环极点到s点的矢量辐角； 注：根轨迹上的点均满足幅值条件和辐角条件。
2020年5月22日
第四章 根轨迹法 16
2 N
D
s
3
s
m1(s zi ) n (s pj )
i1
j 1
m
i
i 1
n
j
j 1
180o (1 2) ( 0,1, 2,L L )
s1
2
3