2002年吉林大学硕士研究生入学试题
一、[20分] 一质量为m 的粒子初始时刻处于位阱
⎩⎨⎧><∞<<=a
x x a x x V ,000)(的基态。

若a x =处的阱壁突然移至a x 2=。

试求粒子在新位阱中：
1）处于基态的几率；
2）处于第一激发态的几率；
3）能量大于初始时刻能量的几率。

二、[22分] 作一维运动的粒子，其能量算符为)(2ˆˆ2x V p H +=μ
，本征方程为，其中取分立值，并有>>=n E n H n ||ˆn mn
n m δ>=<|。

1）若λ为H
ˆ中的一个参量，试证明 λ
λ∂∂>=∂∂<n E n H n |ˆ|； （Hellmann-Feynman 定理） 2）证明><=−∑k p
k x E E n kn n k |ˆ|||)(2222
2μ=， 这里>=<n x k x kn ||； 3）若中不显含)(x V μ，则有
∑∂∂−=−n k kn n k E x E E μ
2
222||)(=。

三、 [14分]已知一维定态波函数为
⎩⎨⎧><−=Ψa
x a x x a x ||,0||,)(22且有0||>=ΨΨ<V 。

试从一维定态薛定谔方程出发，求出位函数和定
态能量)(x V E 。

四、[22分] 磁矩为的电子在恒定外磁场S K K γμ−=y e B B K K =中运动（βγ,均为大
于零的实常数）。

初始时刻电子处于2/=−=z S 的态上。

求：
1） 时和的平均值，解释所得到的结果； 0≥t y S ˆz S ˆ2）电子自旋x 分量的反转周期（即，从完全向上到完全向下的间隔时间）。

x S ˆx S ˆx
S ˆ
五、 [22分] 粒子在中心力场中运动，相应的能量本征方程为。

若在上依次附加和 （)(r V >>=nlm E nlm H nl ||ˆ)0(00ˆH )ˆˆ(ˆ221y x l l H +=α22ˆˆy
l H β=βα,均为大于零的实常数，且1<<β）。

求：
1）算符的本征问题，并讨论能级退化度； 1
0ˆˆ'ˆH H H +=2）在1,3==l n 的情况下，的本征值至一级近似，并求出零级近似波函数。

2
10ˆˆˆˆH H H H ++=
附：若为任意角动量，定义，则在的共同本征态上，有 J ˆy x J i J J ˆˆˆ±=±z J J ˆ,ˆ2>jm |>±±−+>=±
1|)1()1(|ˆjm m m j j jm J =。