03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（） （A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆； （C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。
2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。
3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则 三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。
若最外一圈半径的增大率总是s m /6，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？六、（8分）试就a 的不同取值，讨论方程a a x +=-2)(32的实根的个数。
七、（6分）设函数上连续在 ]1 ,0[ f ，内可导在)1 ,0( ，0)1( =f 且，证明：至少存在一点)1 ,0(∈ξ，使0)()(3=ξ'ξ+ξf f 。
八、（8分）在椭圆)0( 12222>>=+b a by ax 上求一点) ,(y x P ，使得它与另外两点)0 ,2(a A ，)2 ,0(b B 构成的三角形的面积最小APB ∆。
2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1.设0→x 时, 1e3sin -x与n x 是等价无穷小,则=n .2.设()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,e 0,21ln )(x a x x x x f x在0=x 处连续,则=a .3.设,cos )(2x x x f =则()=)0(10f .4.函数)1ln(2)(x x x f +-=在区间 内单调减少.5.函数x x x f ln )(=在10=x 处的带Lagrange 余项的一阶Taylor 公式为 二. 选择题(每小题4分,共16分)1.设,1arctan 1e 1e )(11xx f xx +-=则0=x 是)(x f 的 [ ](A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点2.设),(2)(x g x x f -=且)(x g 在2=x 处连续,0)(≠x g ,则)2(f ' [ ] (A) =)2(g (B) = -)2(g (C) 0= (D) 不存在3.函数()1eln +-=xx x f 在()∞+,0内的零点个数为 [ ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 4.设曲线,121222-+=--x x y 则该曲线 [ ](A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近 (C) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线 三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅→x x x x 1sin 1cot lim 0 2. ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++→xx x x x x x sin 12202e 31ln 1sin lim 3. 设()x y y =是由方程0sin e 2=-+y x y x 确定的隐函数,求y d .4. 设⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 12, 求22d d ,d d xyx y. 5. 设函数(),0,;0,e 2x ⎪⎩⎪⎨⎧≥++<=x c bx ax x x f 且()0f ''存在,试确定常数.,,c b a 四.(8分) 证明不等式: 当1≥x 时, ()()211ln 1x x x +<++.五.(8分) 求曲线()802≤≤=x x y 的切线,使切线与直线0=y 及直线8=x 所围成的图形的面积最大.六.(7分) 设()()Λ,2,1 414,011=++=>+n x x x x nn n ,证明数列{}n x 收敛,并求n n x ∞→lim .七.(6分) 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且,0>ab 证明:()b a ,,∈∃ηξ，使得()()ηηξf b ab a f '++='2223.2005级高等数学（A ）（上）期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．22lim sin1x xx x →∞=+ ； 2．当0x →时,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则k = ;3．设()1sin xy x =+，则d x yπ== ；4．函数()e xf x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ；5．已知函数32e sin ,0()2(1)9arctan ,0xa x x f xb x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩可导，则a = ，b = 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．设函数11()1ex xf x -=-，则 [ ]（A ）0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点（B ）0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点（C ）0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点（D ）0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点7．设函数()y y x =由参数方程22ln(1)x t t y t ⎧=+⎨=+⎩确定，则曲线()y y x =在3x =处的切线与x轴交点的横坐标是 [ ]（A ）1ln 238+ （B ）1ln 238-+ （C ）8ln 23-+ （D ）8ln 23+8．以下四个命题中，正确的是 [ ]（A ）若()f x '在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （B ）若()f x 在(0,1)内连续，则()f x 在(0,1)内有界 （C ）若()f x '在(0,1)内有界，则()f x 在(0,1)内有界 （D ）若()f x 在(0,1)内有界，则()f x '在(0,1)内有界9．当a 取下列哪个数值时，函数32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点[ ] （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．011lim 1e x x x x -→+⎛⎫-⎪-⎝⎭ 11。
()3lim ln 12ln 1xx x →+∞⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 12．1lim1n n →∞⎛+⎝L 13。
设,)21(1)(x x x f -=求)()(x f n 14．设函数()y y x =由方程222sin()e 0xx y xy ++-=所确定，求d d yx。
四．（本题共4道题，满分29分）15．（本题满分6分）如果以每秒350cm 的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为5cm 时，半径增加的速率是多少？ 16．（本题满分7分）证明不等式： 12e 1e (0)x xx x -≥+≥17．（本题满分8分）在抛物线214y x =上求一点21,4P a a ⎛⎫⎪⎝⎭，(0)a >，使弦PQ 的长度最短，并求最短长度，其中Q 是过点P 的法线与抛物线的另一个交点。
18．（本题满分8分）设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且(),()f a b f b a ==，证明：（1） 至少存在一点(),c a b ∈，使得()f c c =；(2) 至少存在互异的两点(),,a b ξη∈，使得 ()()1f f ξη''⋅=2006级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分） 1．函数sin ()(1)xf x x x =-的全部间断点分别是 ，它们的类型依次分别为 ；2．已知21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =，b =； 3．设arctan ()y f x =，其中()f x 为可微函数，则微分d y =；4．设3,1(),1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩，若()f x 在1x =处可导，则a =，b =；5．举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：（1）在0x =处不连续，但当0x →时，极限存在的函数有 （2）在0x =处连续，但在0x =时不可导的函数有（3）在0x =处导数为0，但0x =不为极值点的连续函数有 （4）属于“00”或“∞∞”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得 的有二.单项选择题（每题4分，满分12分）1．设()f x 是单调增函数，()g x 是单调减函数，且复合函数()()(),()ff x fg x ，()()(),()g f x g g x 都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 [ ](A ) ()()(),()ff x fg x (B ) ()()(),()g f x g g x(C ) ()()(),()f g x g f x (D ) ()()(),()g g x f f x2．当0x →时，若2ln(1)y x ax bx =+--是比2x 更高阶的无穷小，则 [ ](A ) 11,2a b ==(B ) 11,2a b ==- (C ) 11,2a b =-= (D ) 11,2a b =-=- 3．下面四个论述中正确的是 [ ](A )若0(1,2,)n x n ≥=L ，且数列{}n x 单调递减，则数列{}n x 收敛，且其极限0a > (B )若0(1,2,)n x n >=L ，且数列{}n x 收敛，则其极限0a > (C )若lim 0n n x a →∞=≥，则0(1,2,)n x n ≥=L(D )若lim 0n n x a →∞=>，则存在正整数N ，当n N >时，都有2n ax >。