东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：03～10级高等数学（A ）（上册）期末试卷2003级高等数学（A ）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程⎰+-=yx t x dt e12确定，则==0x dxdy（ ）.e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A2．曲线41ln 2+-+=x xx y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ）4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ）.2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( ****x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+===二、填空题（每小题3分，共18分）1．_____________________)(lim 21=-→x xx x e2．若)(cos 21arctanx f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dxdy3．设,0,00,1sin )(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=αx x xx x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。
4．若dt t t x f x ⎰+-=2324)(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线xxey -=的拐点是__________6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1．计算积分dx x x⎰+232)1(arctan 2．计算积分dx xxx ⎰5cos sin3. 计算积分dx e x x ⎰-2324. 计算积分⎰π+0cos 2xdx5.设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f ，求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim 3⎰⎰→6.求微分方程0)2(222=+-dx y x xydy 的通解四.（8分）求微分方程xxe y y y 223-=+'-''满足条件0,000='===x x y y 的特解五.（8分）设平面图形D 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积。
六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:⎩⎨⎧-=+=tt y tt x 2522与x 轴所围成，试求其质量m七.（7分）设函数)(x f 在],[a a -上有连续的二阶导数，且0)0(=f ，证明：至少存在一点],[a a -∈ξ，使得)(3)(3ξ''=⎰-f a dx x f aa2004级高等数学（A ）（上）期末试卷一. 填空题（每小题4分，共20分）1．函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21x x xF x f +=,则()=x f .3.()()=-+⎰--x x x x x d e e 1112005 .4. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ](A)()()x x βα2 (B)()()x x x 1sin 22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln (D)()()x x βα+2. 曲线()()211arctane212+-++=x x x x y x 的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条3. 微分方程x x y y y 2e 2=-'-''的一个特解形式为=*y [ ](A) ()xx b ax 22e+ (B) xax 2e (C) ()xb ax 2e+ (D) ()xx b ax 2e+4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()32d cos ln limx t t t xx ⎰+→2. 设函数()x y y =是由方程2e22=-+xyy y x 所确定的隐函数,求曲线()x y y =在点()2,0处的切线方程.3. x x x x d cos cos 042⎰-π4. ⎰∞+13d arctan x xx5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y x x y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小.五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln .1ξe 1XOYxy ln =六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f 且()10=f ,试证: 当0≥x 时,有 ()1e ≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .2005级高等数学（A ）（上）期末试卷一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1． 2206sin d limx x t t x→=⎰ ；2．曲线322(1)x y x =+的斜渐近线方程是 ；3．设()y y x =是由方程ln ln y y x =所确定的隐函数，则d d yx= ； 4．设f 在区间[0,]π上连续，且0()sin ()d f x x f x x π=+⎰，则()f x = ；5．设21,0()e ,0x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则31(2)d f x x -=⎰ ；6．2sin d cos xx x xππ-=+⎰ ； 7．曲线ln y x =相应于13x ≤≤的一段弧长可用积分 表示；8．已知1e x y -=与22e xy =分别是微分方程0y ay by '''++=的两个特解，则常数a = ，常数b = ；9．0()0f x ''=是曲线()y f x =以点00(,())x f x 为拐点的 条件。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．设220()sin d x f x t x t t =-⎰，求()f x '2．2e 1d e 4x xx -+⎰ 3．240sin sin d x x x x π-⎰4．21d 221x x x x +∞-+⎰三．（本题满分9分）设有抛物线2:(0,0)y a bx a b Γ=->>，试确定常数a 、b 的值，使得（1）Γ与直线1y x =-+相切；（2）Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大。
四．（本题共2小题，满分14分） 1．（本题满分6分）求微分方程()222e 1d e d 0x x x y x y -+=的通解。
2．（本题满分8分）求微分方程22e xy y x '''-=+满足初始条件9(0)2,(0)4y y '==的特解。
五．（本题满分7分）试证：（1）设e u >，方程ln x x u =在e x >时存在唯一的实根()x u ；（2）当u →+∞时，1()x u 是无穷小量，且是与ln u u等价的无穷小量。
六．（本题满分6分）证明不等式：111ln 2111ln 213521n n n +<++++<+--， 其中n 是大于1的正整数。
2006级高等数学（A ）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．2e d lim(cos 1)xt x x tx x →-=-⎰ ；2．曲线231x ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩在2t =对应的点处的切线方程为 ； 3．函数()ln(1)f x x x =-+在区间 内严格单调递减； 4．设()y y x =是由方程ln 1xy y -=所确定的隐函数，则(0)y '= ；5． 512224111d 1x x x x x x x -⎛⎫--+-= ⎪++⎝⎭⎰ ； 6．设)(x f 连续，且201(2)d arctan 2xtf x t t x -=⎰，已知1)1(=f ,则21()d f x x =⎰ ； 7．已知)(x y y =在任意点x 处的增量α++∆=∆21xxy y ，当0→∆x 时，α是x ∆的 高阶无穷小，已知π=)0(y ，则_____)1(=y ；8．曲线1ln e y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的斜渐近线方程是 ； 9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e ,e x x y y ==，则该方程为 .二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．计算不定积分 2arccos d x x x x-⎰2．计算定积分20sin d x x x π⎰3．计算反常积分()211d 1x x x +∞+⎰4．设 31()d 1x t G x t t=+⎰，求 10()d G x x ⎰三．（本题满分7分）求曲线ln cos 1sin 2x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩自0t =到4t π=一段弧的长度。