、知识点总结
1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题
余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n
:⑷ sin
si
n cos
cos si
n ⑸tan
tan tan 1 tan tan ⑹ta n
tan
tan
1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin
2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2
・2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2
— 2
降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1
sin 2
.2 sin
tan
tan 2 cos
tan
tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ）
；
).
cos )2
1 2si n
2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式
半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2
a
tan —
2
2
a
tan -
2
4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。
sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1
cos = [sin( 2 1 cos =—
[cos( 2 和差化积公式 si
n cos (2) si n
+ )+sin(
+ )+cos(
+sin = 2 sin ------ cos ---
2 2
)] )]
cos
si n
si n
1 sin = [sin( + )-sin(
2
1
sin = - — [cos( + )-cos(
2
)] )]
-sin = 2 cos ----- sin ---
2 2
2 2 2 2
1 2
tan + cot = tan - cot = -2cot2
sin cos sin 2
1+cos = 2 cos2 3—1-cos = 2s in2—
2 2
1± sin =(sin 2
COS—)
2 2
6。
(1) 升幂公式
1+cos
=2cos22 1-cos = 2sin2—
2
1± sin =(sin
2
2
cos—)
2
1=si* 2
+ cos2
sin =2s in cos
2 2
(2) 降幂公式
sin21 cos2
cos2
1 cos2
2 2
sin2+ cos2=1 sin •os = — si n2
7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：
(1 )角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差,
倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如:
①2是的二倍；4是2的二倍；是一的二倍；是一的二倍；
2 2 4
②15o45o o
30
o
60 45o
30
2
u
;问:
sin —
12
:cos一
12
③( )；® 4
2
q )；
⑤2 ( )( ) (7 ) (7
)
；
等等
2 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，
变异名为同名。
3 常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的
代换变形有：
1 sin2cos2tan cot sin 90°tan 45°
降幕公式有: ________________ 。
降幕并非绝对，有时需要升幕，如对无理式(4)幕的变换：降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处理的方法。
常用
■ 1 cos 常用升幕化为有理式，常用升幕公式有:
tan 1 tan 1 tan
1 tan 1 tan
tan tan ;1 tan tan
tan
ta n
;1 tan tan
2ta n
;1 tan 2
;
tan20° tan 40o 、3tan20° tan 40
o
;
sin cos
=
(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如:
asi
n
bcos
;) 1 cos ；1 cos (6)三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、幕”四方面入手； 基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值 与特殊角的三角函数互化。
如：sin50o (1 ..3tan10o
) tan cot 2 4
cos —cos
cos —
— 9 9 9 3 cos - 7 4
cos — 7 cos — 7 2 cos 7 5 cos - 7
6 cos
7 —、基础训练
1.下列各式中，值为
A 、sin15°cos15°
B 、
2
cos 一 12 si
n 12 C 、 tan 22.5o
1
ta n 2
22.5°
1 cos30o
2
2. 已知sin( )cos cos( )si
n
3
，那么
5
cos 2 的值为
3. 4. 已知tan 1100 a ，求tan 500的值(用
a 表示)甲求得的结果是
a
I 3
，乙求得的结果是 1 3a
』，对
2a
甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 _________
2 1
5. _______________________________________________________________ 已知 tan( ) —, tan( —)—，那么 tan( —)的值是 _______________________________________
5
4 4
4
1 2
6. 已知 0 ，且 cos( )
， sin( ) ，求 cos( )的值
2 2 9 2 3
7.求值 sin50o
(1 .3tan10o )
& 已知
sin cos
i,tan( ) -，求 tan( 2 )的值
1 cos2
3
9.已知 A 、B 为锐角，且满足 tan Ata nB ta nA tanB 1，则 cos(A B) = ___________
三、规范解题 仁已知
a (
-，中，3 (o, 7
),cos( a
7
)=
5，
sin
(牛 + 汗 13，求 sin(心的值.
10.若 11.函数
12.化简:
2cos 4 x 2cos 2x -
2 13. 若方程 14. 当函数 2
2tan( x)sin ( x)
4
4
sin x .、3cosx c 有实数解，则 2cosx 15.如果f sin
c 的取值范围是 3 sinx 取得最大值时，tanx 的值是_ 2cos(x
)是奇函数，则tan
16.求值: 3 sin 2
20
17.若 0
1
2
cos 20
2 且 sin sin sin 0, cos
2
64sin 20
cos cos 0，求
的值
为
f(x)
x R)的单调递增区间为
(,3
2•.化简 sin 2
sin 2
2 2
+cos cos
1
-
2
cos2
cos2。