习
EA=2000KN,l=200m,h=0.2m。 P C
题
12.1 图 12.9 所 示 结 构 由 两 根 端 部 铰 接 的 杆 组 成 ， C 点 承 受 集 中 荷 载 P 作 用 ，
EA A B h
l
图 12.9 1)计算结构的临界荷载； 2)计算结构在失稳后的平衡位置。 12.2 图 12.10 所示超静定梁，截面的极限弯矩 Mp=5KNM，忽略几何非线性效应，试用矩阵 位移法计算该结构的极限荷载。 P
5.第二类稳定和极限承载力全过程分析(续) 5.1 非线性方程的求解问题
一般结构的结构刚度阵在 p-曲线上升段是正定的，在 下降段为负定的。进行“全过程”分析过程中，当荷 载接近极限值时，很小的荷载增量都会引起很大的位 移，可能还未找到极限荷载就出现了求解失效现象。 为了找到真实的极限荷载，克服下降段的不稳定现象 ，各国学者提出了许多算法，下面就常用的两种方法 作一介绍。
(12-89)
这样，求解方程时可控制指定的值，求出相应的位移u1及荷 载增量比例因子 。由于Kij与位移有关，求解时需要迭代，使 得[R1R2]T值趋于零，以满足精度要求。
K 需要指出，方程(12-89)中的系数矩阵 11 K 21 P1 是不对称， P2
也不呈带状，求解时需要的存储单元较多，这是该方法的一大 缺点。 计算中还可以用强制迭代法、强化刚度法、弧长法等方法来 克服下降段的不稳定现象，限于篇幅，本书不再赘述。
{ Pp }
i { p } i
1
n
(12-90)
5.3 稳定分析与极限承载力计算的关系

共同点在于两者都是计算桥梁结构达到某种失效状态 时的最大荷载，在特定情况下，两者是一致的，因此
许多学者将两者混为一谈。

结构出现失稳并不一定完全破坏；在极限承载力作用 下，结构也不一定失稳。因此，临界荷载与极限承载 力一般情况下是不同的。 由于定义两种结构失效的状态不同。因此，研究这两
第十二章
大跨度桥梁的稳定理论
(同济大学博士、硕士研究生课程)
肖 汝 诚
(同济大学桥梁工程系)
5.第二类稳定和极限承载力全过程分析
极限承载力是从“极限设计”的思想中引出的概念。 传统的“强度设计”以构件最大工作应力乘以安全系 数等于材料的屈服应力为依据。但是，一般情况下， 构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，结构 所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载为大， 为了利用这一强度富裕度，“极限设计”提出极限荷 载的概念，即引起结构完全崩溃的荷载，并将结构的 工作荷载取为极限荷载的一个固定部分。显然“极限 设计”更具科学性。
5.2 单元模式与破坏形态的选取(续)
其次介绍破坏形态的模拟问题。当某个高斯点处 出现裂缝时，其应力释放的计算比较麻烦。 DR.J.Ower 和 E.Hinton 通过将梁单元取短，并假定单 元内应力、应变沿轴向不变，即沿梁轴向仅取一个 高斯点的方法来解决这一问题，这样，梁元刚度阵 可写成显式，一当出现裂缝，梁元便可退出工作。 由此带来的求解规模的增加，可以通过试探法来解 决，即先对结构进行一次预分析，找出可能出现塑 性区或开裂的部位，对构件加密后再作极限承载力 分析。
5.1 非线性方程的求解问题(续)
2)位移控制法
如果在分析过程中不是控制荷载增量而是控制位 移增量，则P-曲线的下降段部分便不难求得。
对于一般结构，我们可将刚度矩阵重新排列，使 得要控制的位移(例如=u2)排到最后一项，同时将原 刚度矩阵分块，其有限元方程变为：
K 11 K 21
K 12 u1 P1 R 1 K 22 u2 P2 R 2
3m 图 12.10
3m 超静定梁
12.3 试画出塑性铰法计算桥梁结构极限承载力的计算流程图

个问题的方法也有区别。
6.小 结
本章首先介绍了桥梁结构稳定问题的分类及稳定理 论的的发展历程。 根据稳定与平衡的关系，建立了求解第一类稳定问 题的控制方程，并介绍了桥梁结构第一类稳定问题的 求解方法。 通过讨论圆弧拱稳定问题的解析解，给出了计算拱 桥稳定和考虑非保向力效应的实用方法。 通过讨论材料非线性问题，引出了桥梁极限承载力 及其全过程分析问题，指出只有通过对结构几何非线 性关系以及材料非线性本构关系的研究，才能深入揭 示复杂稳定问题的实质。
5.1 非线性方程的求解问题(续)
1)逐步搜索法
对于只要求出极值荷载，而对P-下降段不感趣 的情况，可采用逐步搜索顶点的算法。其基本思想 是：加一荷载增量 P ，计算发散后，退回上级荷载 状态并改用荷载步长 P/2 ，若计算收敛，则再加一 级荷载为 P/4 。若加 P/4 后计算发散，则再改用荷 载步 长为P/8。如此搜索，若原步长P预计为5%的 破坏荷载，则 P/4 已接近 1% 的极限荷载，对桥梁结 构来说，已可满足精度要求。当然还可向前再搜索 一步到P/8。
5.第二类稳定和极限承载力全过程分析(续)
从力学分析角度看，分析桥梁结构极限承载力的实 质就是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性 的刚度方程，寻找其极限荷载的过程。桥梁结构在 不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化， 当外载产生的压应力或剪应力使得结构切线刚度阵 趋于奇异时，结构承载能力就到达了极限，此时的 外荷载即为极限荷载。因此，从理论上讲，用我们 前面学过的知识就能完成桥梁结构的极限承载力分 析。但在具体实施时，尚有两方面问题值得讨论。
5.2 单元模式与破坏形态的选取(续)
相比之下，塑性铰法虽然精度差一些，但处理上 述两个问题十分方便。下面以塑性铰法为例，说明 桥梁结构的极限承载力计算步骤： 1)确定成桥状态的内力与构形；
2)以成桥状态为初态，用单位计算荷载向量 {p}进 行结构分析。根据计算结果和极限弯矩，估算第一 个塑性铰出现时的荷载增量倍数1’；
5.第二类稳定和极限承载力全过程分析(续)
桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大 能力。分析桥梁结构的极限承载力，不仅可以用于 其极限设计，而且可以了解其结构破坏形式，准确 地知道它在给定荷载下的安全贮备或超载能力，为 其安全施工和营运管理提供依据和保障。
全过程分析是用于桥梁结构极限承载力分析的一种 计算方法，它通过逐级增加工作荷载集度来考察结 构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏。
3) 以 {P1} ＝ 1’{p} 作用于结构，按全非线性进 行结构分析，迭代形成第一个塑性铰和模式与破坏形态的选取(续)
4)检验结构是否成为机构，若是，给出极限荷载， 计算结束。否则，估算出现下一个塑性塑性铰时的荷 载增量倍数i’； 5) 以上次计算结束时的结构状态为初态，以 {Pi} ＝ i’{p}作用于结构，按全非线性进行结构分析，迭 代形成第i个塑性铰和实际的荷载增量倍数i； 6) 重复 4) － 5) 的计算，直至第 n 个塑性铰出现时结 构成为机构。此时，结构的极限荷载为:
(12-88)
式中：[P1P2]T 参考荷载向量； 控制荷载的步长系数；
[R1R2]T 求解迭代过程中的不平衡力向量。
5.1 非线性方程的求解问题(续)
改写方程(12-88)为：
K 11 P 1 u1 R1 K 12 u2 K 21 P2 R 2 K 22
5.2 单元模式与破坏形态的选取
首先介绍用于极限承载力分析的单元模式选取。 桥梁结构分析以梁单元为主，用于极限承载力分析 的梁单元模式主要有三种，一种是带有塑性铰的一 般梁单元；一种是不分层的等参梁单元；常常沿梁 轴向和横截面上取一定数量的高斯点来反映梁元上 不同点的应力、应变情况，单元刚度阵通过这些点 的高斯积分来形成。这两种单元模式只适用于规则 同材质的截面形式，因此，其应用受到限制。还有 一种为上节介绍的分层梁元，它可以克服前面的缺 点，但输入数据和计算过程都较复杂，读者应根据 实际情况选用。