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2019年高考专题:数列试题及答案

2019年高考专题:数列1.【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a =( ) A .16 B .8C .4D .2【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩, 解得11,2a q =⎧⎨=⎩,2314a a q ∴==,故选C .2.【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==,,则S 4=___________.【解析】设等比数列的公比为q ,由已知223111314S a a q a q q q =++=++=,即2104q q ++=. 解得12q =-,所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---. 3.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若375,13a a ==,则10S =___________.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 4.【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是__________.【解析】由题意可得:()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩, 解得:152a d =-⎧⎨=⎩,则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=.5.【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{}n a 中,3a ,9a 是方程224120x x ++=的两根,则数列{}n a 的前11项和等于( )A .66B .132C .-66D .- 32 【解析】因为3a ,9a 是方程224120x x ++=的两根,所以3924a a +=-,又396242a a a +=-=,所以612a =-,61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-,故选D.6.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学试题】在数列{}n a 中,1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+,则2019a 的值为______. 【解析】因为11,()(1)n n a a n n n *+=+∈+N 所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++,2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-,各式相加,可得20191112019a a -=-,201911120192019a -=-,所以,20191a =,故答案为1.7.【2019北京市通州区三模数学试题】设{}n a 是等比数列,且245a a a =,427a =,则{}n a 的通项公式为_______.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为245a a a =,427a =,所以223542427a a a a q q q ====,解得3q =,所以41327127a a q ===, 因此,13-=n n a ,n *∈N .故答案为13-=n n a ,n *∈N .8.【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知S 9=-a 5.(I )若a 3=4,求{a n }的通项公式;(II )若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 【解析】(I )设{}n a 的公差为d .由95S a =-得140a d +=.由a 3=4得124a d +=.于是18,2a d ==-. 因此{}n a 的通项公式为102n a n =-.(II )由(I )得14a d =-,故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <,故n n S a ≥等价于211100n n -+,解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N .9.【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,1322,216a a a ==+.(I )求{}n a 的通项公式;(II )设2log n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和.【解析】(I )设{}n a 的公比为q ,由题设得22416q q =+,即2280q q --=.解得2q =-(舍去)或q =4.因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=.(II )由(I )得2(21)log 221n b n n =-=-,因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=.10.【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列,a 1=–10,且a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列.(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ,求S n 的最小值. 【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公差为d .因为110a =-, 所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+.因为23410,8,6a a a +++成等比数列,所以()()()23248106a a a +=++.所以2(22)(43)d d d -+=-+.解得2d =.所以1(1) 212n a a n d n =+-=-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,212n a n =-.所以,当7n ≥时,0n a >;当6n ≤时,0n a ≤. 所以,n S 的最小值为630S =-.11.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T .若113a b ==,42a b =,4212S T -=.(I )求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(II )求数列{}n n a b +的前n 项和.【解析】(I )由11a b =,42a b =,则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=, 设等差数列{}n a 的公差为d ,则231236312a a a d d +=+=+=,所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ,由题249b a ==,即2139b b q q ===,所以3q =.所以3nn b =;(II )(21)3n n n a b n +=++, 所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++2(3521)(333)nn =++++++++(321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++.12.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列{}n a 的公差是1,且1a ,3a ,9a 成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )求数列{}2n na a 的前n 项和n T . 【解析】(I )因为{}n a 是公差为1的等差数列,且1a ,3a ,9a 成等比数列,所以2319a a a =,即2111(2)(8)a a a +=+,解得11a =.所以1(1)n a a n d n =+-=.(II )12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两式相减得1231111111222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以111111112*********n n n n n n T n +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=-- ⎪⎝⎭-. 所以222n nnT +=-. 13.【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列{}n a 满足636a a =+,且31a -是241,a a -的等比中项.(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )设()11n n n b n a a *+=∈N ,数列{}n b 的前项和为n T ,求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【解析】(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,6336a a d -==,即2d =,3113a a ∴-=+,2111a a -=+,416a a =+, 31a -是21a -,4a 的等比中项,()()232411a a a ∴-=-⋅,即()()()2111+3=16a a a ++,解得13a =.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.(II )由(I )得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭ ()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭, 由()13237n n <+,得9n <. ∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.14.【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列{}n a 满足:1n a ≠,()112n n a n a *+=-∈N ,数列}{n b 中,11n n b a =-,且1b ,2b ,4b 成等比数列. (I )求证:数列}{n b 是等差数列;(II )若n S 是数列}{n b 的前n 项和,求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【解析】(I )111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=------1111n n n a a a =-=--, ∴数列}{n b 是公差为1的等差数列;(II )由题意可得2214b b b =,即()()211113b b b +=+,所以11b =,所以1n b =, ∴(1)2n n n S +=,∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 11111212231n T n n ⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭122111nn n ⎛⎫=⨯-=⎪++⎝⎭.。

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