习题一（P13）2.设()a t 是向量值函数，证明：（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。

（1）证明：a =常数⇔2a =常数⇔(),()a t a t <>=常数⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。

（2）注意到：()0a t ≠，所以()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量。

若单位向量()()()a t e t a t ==常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。

反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。

由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。

从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫'⇒=⇒=⎬'⊥⎭常向量。

所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量 ⇔()()1()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭()()2111()()()()()0()()()d a t a t a t a t dt a t a t a t '⇔∧+∧= ()()0a t a t '⇔∧=。

即()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。

补充：定理 ()r t 平行于固定平面π的充要条件是()(),(),()0r t r t r t '''≡。

证明：""⇒：若()r t 平行于固定平面π，设n 是平面π的法向量，为一常向量。

于是，(),0(),0,(),0r t n r t n r t n '''<>=⇒<>=<>=(),(),()(),(),()0r t r t r t r t r t r t ''''''⇒⇔<>≡共面。

""⇐：若()(),(),()0r t r t r t '''≡，则(),(),()r t r t r t '''共面。

若()()0r t r t '∧≡则()r t 方向固定，从而平行于固定平面π。

若()()0r t r t '∧≠，则()()()r t r t r t λμ'''=+。

令()()(),n t r t r t '=∧则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0()0()()()n t r t r t r t r t r t r t r t t r t t r t t r t r t t n t n t n t n t n t n t r t λμμμ'''''=∧+∧'''=∧=∧+'=∧='⇒∧=≠⇒⊥，又有固定的方向，又⇒()r t 平行于固定平面。

3.证明性质1.1与性质1.2。

性质1.1（1）证明：设11232123312323123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v v w w w ===∧=，则()23311223123123233112123,,,,ij kyy y y y y v v y y y w w w z z z z z z z z z ⎛⎫∧=== ⎪⎝⎭()123322311331221233112123123233112123233231131221212213311332332112211311,,,=(),,,,[][],[][],[w y z y z w y z y z w y z y z ij kx x x x x x v v v x x x w w w w w w w w w x w x w x w x w x w x w x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z x y z y z ⇒=-=-=-⎛⎫⇒∧∧== ⎪⎝⎭=---=-------左()()()()322332223312233133112331121122311223223313311211223223313311211223223311][][][],[][],[][][],[],[][],[],[][x y z y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x y x y z x z x z y x z x z y x z x z y x y x y z x y x y z x y x y z x z x z x z --=+-++-++-+=+++-+++=++()()()()133112221122333223311133112221122333112233123223311123132123],[],[][],[],[][],,[],,,,y x z x z x z y x z x z x z y x y x y x y z x y x y x y z x y x y x y z x z x z x z y y y x y x y x y z z z v v v v v v ++++-++++++=++-++=<>-<>=右（2）证明：设1123212331234123(,,),(,,),(,,),(,,)v x x x v y y y v z z z v w w w ====，则()()23311212123123233112123123322311331221233112341231232331121231233223113312,,,,,,.,,,,,,ij kx x x x x x v v x x x X X X y y y y y y y y y X x y x y X x y x y X x y x y ij kz z z z z z v v z z z Y Y Y w w w w w w w w w Y z w z w Y z w z w Y z w ⎛⎫∧=== ⎪⎝⎭⇒=-=-=-⎛⎫∧=== ⎪⎝⎭⇒=-=-=2112341122332332233231133113122112212233223311331133112211222233223311331133.=,()()()()()()[][z w v v v v X Y X Y X Y x y x y z w z w x y x y z w z w x y x y z w z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z x w y z y z x w y z x w x z y w -⇒<∧∧>=++=--+--+--=+++++-++++左113311221122111122223333223322331133113311221122111122223333223322331133113311221122][()][()](x w y z x w y z y z x w x y z w x y z w x y z w x z y w y w x z y w x z x z y w x z y w y w x z x y z w x y z w x y z w x w y z y z x w y z x w x w y z x w y z y z x w x ++=++++++++-++++++++=11223311223311223311223313241423)()()()=,,z x z x z y w y w y w x w x w x w y z y z y z v v v v v v v v ++++-++++<><∧>-<><∧>=右（3）证明：设112321233123(,,),(,,),(,,),v x x x v y y y v z z z ===，则()()2331121212312323311212312332231133122131231211223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ij kx x x x x x v v x x x X X X y y y y y y y y y X x y x y X x y x y X x y x y v v v v v v z X z X z X z x y x y z x y x y z x y x y z x y y z x x y z ⎛⎫∧===⎪⎝⎭⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++3123123123)()z y x x z y y x z -++同理，()()2331123112312323311212312332231133122123123111223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ij kz z z z z z v v z z z Y Y Y x x x x x x x x x Y z x z x Y z x z x Y z x z x v v v v v v y Y y Y y Y y z x z x y z x z x y z x z x z x y y z x x y z ⎛⎫∧===⎪⎝⎭⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++()3123123123312)(),,z y x x z y y x z v v v -++=()()2331122312312323311212312332231133122112312311223312332231133122112312312,,,,,,,,,()()()(ij ky y y y y y v v y y y Z Z Z z z z z z z z z z Z y z y z Z y z y z Z y z y z v v v v v v x Z x Z x Z x y z y z x y z y z x y z y z z x y y z x x y z ⎛⎫∧===⎪⎝⎭⇒=-=-=-⇒=<∧>=++=-+-+-=++()3123123123312)(),,z y x x z y y x z v v v -++=所以，()()()123312231,,,,,,v v v v v v v v v ==。