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微分几何练习题库及参考答案已修改

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1.极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+r r r . 2.设f ()(sin )i j t t t =+r r r ,2g()(1)i j t t t e =++r r ,求0lim(()())t f t g t →⋅=r r 0 . 3.已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰r , {}64r()d =2,1,2t t -⎰r ,{}2,1,1a =r ,{}1,1,0b =-r ,则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰r r r r r {}3,9,5-.4.已知()r t a '=r r (a r 为常向量),则()r t =r ta c +r r .5.已知()r t ta '=r r ,(a r 为常向量),则()r t =r 212t a c +r r . 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &,则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠r r r ,则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.12. 已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ,()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ,0t >,则4()d f g dt dt ⋅=⎰r r 4cos 62-. 13.曲线{}3()2,,t r t t t e =r 在任意点的切向量为{}22,3,t t e . 14.曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r 在0t =点的切向量为{}0,,a a .15.曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为{}0,,a b .16.设曲线2:,,t t C x e y e z t -===,当1t =时的切线方程为2111-=--=-z e e y e e x . 17.设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,当0t =时的切线方程为11-==-z y x .18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________.19. u -曲线(v -曲线)的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v =0(F d u +G d v =0)__.20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中,θ是 方向(d) 与u -曲线 的夹角.21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .22.已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-r ,其中2,sin u t v t ==,则dr d t =r {}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+. 23.已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=r ,其中t =ϕ,2t =θ,则dr(,)d t ϕθ=r {}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+. 24.设(,)r r u v =r r 为曲面的参数表示,如果0u v r r ⨯≠r r r ,则称参数曲面是正则的;如果:()r G r G →r r 是 一一对应的 ,则称曲面是简单曲面.25.如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切,则称相应的坐标网为 正规坐标网 .26.平面{}r(,),,0u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +,面积微元为d d u v .27.悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =r 第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===,.28.曲面z axy =上坐标曲线0x x =,0y y =的交角的余弦值是2.29.正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r 的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++.30.双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++.31.正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r 的平均曲率为 0 .32.方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或.33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II r r 或.34.λ是主曲率的充要条件是0E L F M F MG N λλλλ--=--. 35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M v E F G F u G v M u N v L M N-++==++或. 36. 根据罗德里格斯定理,如果方向(d)(d :d )u v =是主方向,则n n dn k dr k =-r r ,其中是沿方向(d)的法曲率.37.旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面.38.测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率.39.,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+.40.如果曲面上存在直线,则此直线的测地曲率为 0 .41.正交网时测地线的方程为d ds du ds dv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩. 42.曲线是曲面的测地线,曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .二、单项选择题1.已知{}(),,t t r t e t e -=r ,则r (0)''r 为( A ).A. {}1,0,1;B. {}1,0,1-;C. {}0,1,1;D. {}1,0,1-.2.已知()()r t r t λ'=r r ,λ为常数,则()r t r 为( C ).A. ta λr ;B. a λr ;C. t e a λr ;D. e a λr . 其中a r 为常向量.3. 曲线(C)是一般螺线,以下命题不正确的是( D ).A .切线与固定方向成固定角;B .副法线与固定方向成固定角;C .主法线与固定方向垂直;D .副法线与固定方向垂直.4. 曲面在每一点处的主方向( A )A .至少有两个;B .只有一个;C .只有两个;D .可能没有.5.球面上的大圆不可能是球面上的( D )A .测地线;B .曲率线;C .法截线;D .渐近线.. 6. 已知{}r(,),,x y x y xy =r ,求(1,2)dr r 为( D ).A. {}d ,d ,d 2d x y x y +;B. {}d d ,d d ,0x y x y +-;C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ;D. {}d ,d ,2d d x y x y +.7.圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =r 的切线与z 轴( C ).A. 平行;B. 垂直;C. 有固定夹角4π; D. 有固定夹角3π. 8.设平面曲线:()C r r s =r r ,s 为自然参数,αβr r ,是曲线的基本向量.叙述错误的是( C ). A. αr 为单位向量; B. αα⊥r r &; C. k αβ=-r r &; D. k βατγ=-+r r r &.9.直线的曲率为( B ).A. -1;B. 0;C. 1;D. 2. 10.关于平面曲线的曲率:()C r r s =r r 不正确的是( D ). A. ()()k s s α=r &; B. ()()k s s ϕ=&,ϕ为()s αr 的旋转角;C. ()k s αβ=-⋅r &;D. ()|()|k s rs =r &. 11.对于曲线,“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的( D ).A. 充分不必要条件;B. 必要不充分条件;C. 既不充分也不必要条件;D. 充要条件.12.下列论述不正确的是( D ). A. ,αβγr r r ,均为单位向量; B. αβ⊥r r ; C. βγ⊥r r ; D. αβr r P .13.对于空间曲线C ,“挠率为零”是“曲线是直线”的(B ).A. 充分不必要条件;B. 必要不充分条件;C. 既不充分也不必要条件;D. 充要条件.14.2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为( D ).A. 垂直;B. 平行;C. 成3π的角;D. 成4π的角.15.椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为( C ). A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=;B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=;C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=;D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=.16.曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为( B ).A. 2135200x y z +-+=;B. 1834410x y z +--=;C. 756180x y z +--=;D. 1853160x y z +-+=.17.球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为( D ).A. 2222(d sin d )R u u v +;B. 2222(d cosh d )R u u v +;C. 2222(d sinh d )R u u v +;D. 2222(d cos d )R u u v +.18.正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =r 的第一基本形式为( C ).A. 22d d u v +;B. 22d d u v -; C 222d d u R v +; D.222d d u R v -.19.在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上,方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为( B ).A . 21cosh cosh v v -;B . 21sinh sinh v v -;C . 12cosh cosh v v -;D . 12sinh sinh v v -.20.设M 为正则曲面,则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是( B ).A . 0E =;B . 0F =;C . 0G =;D . 0M =.21.高斯曲率为零的的曲面称为( A ).A .极小曲面;B .球面;C .常高斯曲率曲面;D .平面.22.曲面上直线(如果存在)的测地曲率等于( A ).A . 0;B . 1;C .2;D . 3.23.当参数曲线构成正交网时,参数曲线u-曲线的测地曲率为( B ).A .B .C .D . 24.如果测地线同时为渐近线,则它必为( A ).A . 直线;B . 平面曲线;C . 抛物线;D . 圆柱螺线.三、判断题(正确打√,错误打×)1. 向量函数()r r t =r r 具有固定长度,则()()r t r t '⊥r r . √2. 向量函数()r r t =r r 具有固定方向,则()()r t r t 'r r P . √3. 向量函数()r t r 关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t 'r . ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数,则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数,则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=r z -线是渐近线. √7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. ×8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. ×11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. ×12. 在光滑曲线的正常点处,切线存在但不唯一. ×13. 若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线.√14. 在曲面的非脐点处,有且仅有两个主方向. √15. 高斯曲率与第二基本形式有关,不是内蕴量. ×16. 曲面上的直线一定是测地线.√17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. ×19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =,这里F 是第一基本量. √20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √21. 连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一定是最短的. ×22. 球面上的圆一定是测地线. ×23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √四、计算题1.求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长.解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--r 的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-r ,则在π20≤≤t 一段的弧长为:2200()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰r .2.求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量.解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+r ,{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+r ,在原点,有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==r r ,又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r r r r r r r r r r ,r r r r γ'''⨯='''⨯r r r r r ,所以有αβγ===r rr . 3.圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r ,①求基本向量,,αβγr r r ; ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-r ,{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--r , 又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r r r r r r r r r r ②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='r r r 及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯r r r r r 有22a k a b =+,22b a b +=τ. 4.求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r 的切平面和法线方程.解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r ,切平面方程为 cos sin cos sin 00sin cos x u vy u v z bv vv u v u v b---=-, 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bv b v b v u---==-. 5.求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=r 上任一点处的切平面与法线方程. 解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--r , {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-r ,∴ 球面上任意点的切平面方程为即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=,法线方程为 即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==. 6.求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面.解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-r (){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--r所以曲线在原点的密切平面的方程为即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7.求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式.解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+r ,{}1,0,2x r ax =r ,{}0,1,2y r ay =r ,2214x x E r r a x =⋅=+r r ,24x y F r r a xy =⋅=r r ,2214y y G r r a y =⋅=+r r, 2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I .8.求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r 的第一基本形式. 解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r,1u u E r r =⋅=r r ,0u v F r r =⋅=r r ,22v v G r r u b =⋅=+r r,2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I .9.计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r 的第一、第二基本量. 解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r,{}0,0,0uu r =r ,{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ,{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r, {}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k r r v v b v b v u u v u v b⨯==--rr r r r,sin ,cos ,u v u v b v b v u r rn r r -⨯==⨯r rr r r ,1u u E r r =⋅=r r ,0u v F r r =⋅=,22v v G r r u b =⋅=+r r,0uu L r n =⋅=rr ,uv M r n =⋅=r r,0vv N r n =⋅=r r.10.计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率.解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+r ,则{}1,0,2x r x =r ,{}0,1,2y r y =r ,{}0,0,2xx r =r ,{}0,0,0xy yx r r ==r r,{}002yy r =r ,,,{}1022,2,1012x y i j k r r x x y y⨯==--rr r r r,2,2,1||x y x y r r x y n r r ⨯--==⨯r rr r r214x x E r r x =⋅=+r r , 4x y F r r xy =⋅=r , 214y y G r r y =⋅=+r r,xx L r n =⋅=r r , 0xy M r n =⋅=r r ,yy N r n =⋅=r r ,2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++, 2232222124422(441)GL FM EN x y H EG F x y -+++=⋅=-++. 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r 的高斯曲率.解 直接计算知1E =,0F =,22G u a =+,0L =,M =,0N =,222222()LN M a K EG F u a -∴==--+. 12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =,则2z p y x ∂==∂,2z q xy y ∂==∂,220z r x ∂==∂,22z s y x y ∂==∂∂, 222z t x y∂==∂ 所以,L =0,M =,N =20=,化简得(2)0dy ydx xdy +=, 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1,x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =r 上的曲率线.解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-r r{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--r r r,L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =000-+ 或du b u dv 221+±=积分得两族曲率线方程:14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-r 在原点处沿任意方向的法曲率.解 {1,0,2},{0,1,2}==-r r u v r u r v ,u v u v 2u,2v,1r r n r r -⨯==⨯r r r rr ,22=Ⅱ,n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即22{,,()},=+r r x y a x y{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===r r r xx xy yy r a r r a ,L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a, 代入主曲率公式,NN 2a k 0002a k -=-,所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+r 在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u r 1,02,{},v r ,v r=01,2 2214,4,14E u F uv G v =+==+2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程,得()()0du dv du dv +-=, 即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+r 上的椭圆点,双曲点和抛物点.解 由23{,,},r u v u v =+r 得{}u r =,u r 1,02,{}2,v r ,v r =01,3 ①v >0时,是椭圆点;②v <0时,是双曲点;③v =0时,是抛物点.18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+r 上的抛物点的轨迹方程.解 由32(,){,,},r u v v u u v =+r 得{}u r =u,r 0,21,{}2,v r v ,r =30,1令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v r 30或{}0r=,u ,u r2.19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =r自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =r 得{sin ,cos ,}r a t a t b '=r-,()r t '=r弧长(),s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =r20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s r r=(),则主法线曲面为:r=a s v s ,βr r r ()+()则,a =a=α'r r r &,b ==-k βατγ'+r r r r &a b =k,''-r r g 2,22b =k +τ'r所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''r r r r g r r r r ()-()()+()+ 21.求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===(0u =常数)的测地曲率.解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι,螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =,由2πθ=得d 0d sθ=.由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+.五、证明题1. 设曲线:(s),r r =r r 证明:2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅r r r r r &&&&&&&&⑴⑵ 证明 ⑴由伏雷内公式,得=k =-,αβγτβr r r r &&, 两式作点积,得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅r r r r &&⑵r=r==k ,ααβr r r r r &&&&, 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&2. 设曲线:(s),r r =r r 证明:3()()r ,r ,r =k k -k .ττr r r &&&&&&&&&&& 证明 由伏雷内公式,得3. 曲线??()r r s =r r 是一般螺线,证明1:r R ds αβΓ=-⎰r r r也是一般螺线(R 是曲线?的曲率半径).证明 1r R ds αβ=-⎰r r r,两边关于s 微商,得1αα∴r r P ,由于Γ是一般螺线,所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰r是常数)是一般螺线.证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=rk a bτ∴=- . 5.曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点,n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率,证明222n g k =k +k .证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯r r r r r (,,)k n k n αβγ==⋅r r r r rsin k .θ=± (θ是主法向量βr 与法向量n r的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=r r,6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r的切向量与曲线的位置向量成定角. 证明 对曲线上任意一点,曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r,该点切线的切向量为:{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+r,则有:2cos 2t r r r r θ'⋅==='r r r r ,故夹角为4π. 由所取点的任意性可知,该曲线与曲线的切向量成定角.7.证明:若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关,则曲线是直线.证明 若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关,则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=r r r,则,()()0, t r t r t '''∀⨯=r r r又3()r r k t r '''⨯='r r r ,故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线.8. 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交. 证明 由题意有 {}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--r r,由()()r r r r r r r r rβ''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯r r r r r r r r r r知{}cos ,sin ,0t t β=--r . 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =r ,而0a β⋅=r r ,故a β⊥r r,即主法线与z 轴垂直.9.证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点.证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-r,则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点(0,0,0)代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边,故结论成立.10.证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线,并求出它所在的平面方程.证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-r,{}34210,2r +t,t t '=-+-r ,{}410,2r ,''=-r ,{}00,0r ,'''=r (,,)0r r r ,''''''=r r r0τ=,所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面 {}(0)32,0r ,'=-r , {}(0)410,2r ,''=-r密切平面方程为12132004102x y z -=----, 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27=0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点,那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s =r r,定点的向径为0R v ,则两边求微商,得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+r r r r r &&&(1())()0s s k λαλβ--=r r r & 由于,αβr r 线性无关,∴100k λλ⎧-⎨⎩&==∴ k =0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点,那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点,曲线的方程为 ()r r t =r r,则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=r r r r因任一点的密切平面过定点,所以((),(),())0o r t r t r t '''-=r r r r , 即 ((),(),())0r t r t r t '''=r r r所以 ()r r t =r r 平行于固定平面, 所以 ()r r t =r r是平面曲线.13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ρ,证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件,得0.............e α⋅=r r①,①两边求导,得 0e α⋅=r r &,由伏雷内公式得 0k e β⋅=r r ,ⅰ)0k =,则曲线是直线;ⅱ)0e β⋅=r r 又有①可知 γr ‖e r因e r是常向量,所以γr 是常向量,于是 ||||0,τγ==r&所以0τ= ,所以曲线为平面曲线. 14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应的点的副法线互相平行,证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±rr12= , 21ds ds γγ±gg r r 12=由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±v v 122=12ββ∴±r r = 进而12αα=±r r15. 证明挠曲线(0τ≠)的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r,则挠率0τ≠,其主法线曲面的方程是:()()r s t s ρβ=+r r r 取(),()a r s b s β==r r r r,则(),()k a s b s αβατγ''===-g r r r r r r+所以,(,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠r rr r r r r r r r r r r ++=所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线(0τ≠)的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r,则挠率0τ≠,其副法线曲面的方程是:()()r s t s ργ=+r rr取(),()a r s b s γ==r r r r ,则(),()a s b s αγτβ''===-g r r r r r所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠r rr r r r ,所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),r r =则曲线的主法线曲面为r r s +v s βr r r=()()s v s v r r n=r r ⨯⨯r r r rr r r (1-)- 沿曲线(v =0)n=γr r ,所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线. 18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=r沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r r rr au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=r r r), 所以,曲面可展,即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线Γ,设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角,求证Γ是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0,则cos γθr r g 0n= 两边求微商,得 0γγg g r r r rg g n+n=由于曲线Γ是曲率线,所以αg r rP n,进而0γg r r g n=,由伏雷内公式得0τβrr g -n=⑴0τ=时,Γ是一平面曲线 ⑵n 0βv v g =,即n β⊥vv ,n kcos =0k θ=,又因为Γ是曲率线,所以0n dn k dr =-=v v v 即n v是常向量,所以Γ是平面曲线. 20.求证正螺面上的坐标曲线(即u -曲线族v -曲线族)互相垂直.证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r,则{}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r, {}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r,故正螺面上的坐标曲线互相垂直.21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k所以*n n 12k k k k +=+=常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线,则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线,所以沿此曲线有,β=±r rn从而(),κατγ=±-+r r r &n又因为曲线是平面曲线,所以0,τ= 进一步n κα=±r r &.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向,故所给曲线为曲率线.23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数,y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+rx =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=r,{0,1,}y r g '=r .因为0xy r r M r ⨯==r r r ,所以坐标曲线构成共轭网,即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网. 24.证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点.证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =r,则{}1,0,x r y =r ,{}0,1,y r x =r ,{}0,0,0xx r =r ,{}0,0,1xy r =r ,{}0,0,0yy r =r,{},,1x y r r y x ⨯=--r r,,,1||x y x y r r y x n r r ⨯--==⨯r r r r r , 0xx L r n =⋅=r r, xy M r n =⋅=r r0yy N r n =⋅=r r,222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++,故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点.25.如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例,即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关,则称该点是曲面的脐点;如果曲面上所有点都是脐点,则称曲面是全脐的.试证球面是全脐的.证明 设球面的参数表示为 {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =r,则 {}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-r ,{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--r, {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--r ,{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-r r, {}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---r,22cos u u E r r R v =⋅=r r ,0u v F r r =⋅=r r ,2v v G r r R =⋅=r r,2cos L R v ==-r rr ,0M ==r rr ,N R ==-r r r ,1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-,故球面是全脐的. 26.证明平面是全脐的.证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =r,则 {}1,0,0x r =r ,{}0,1,0y r =r ,{}0,0,0xx r =r ,{}0,0,0xy r =r ,{}0,0,0yy r =r,1x x E r r =⋅=r r ,0x y F r r =⋅=r r ,1y y G r r =⋅=r r,0xx L r n =⋅=r r ,0xy M r n =⋅=r r ,0yy N r n =⋅=r r(,,)0(,,)L M N E F G ∴=,故平面是全脐的.27.证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点.证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+r,则{}2/3131,0,()x r x y -=+r , {}2/3130,1,()y r x y -=+r , {}5/3230,0,()xx r x y -=-+r ,{}5/3290,0,()xy r x y -=-+r , {}5/3290,0,()yy r x y -=-+r ,{}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+r r , ||x y x y r r n r r ⨯=⨯r r r r r , {}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ,{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅r r r , {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅r r r 20LN M ⇒-=,∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点.28.求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r是极小曲面.证明 {}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v a =-r, {}0,0,0uu r =r ,{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ,{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r,{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a⨯==--r r rr r,sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r -⨯==⨯r rrr r , 1u u E r r =⋅=r r ,0u v F r r =⋅=,22v v G r r a u =⋅=+r r,0uu L r n =⋅=rr ,uv M r n =⋅=r r 0vv N r n =⋅=r r,21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面.29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =r上的纬线是测地线.证明 由{cos ,sin ,},r a u a u v =r2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=+, 纬线是u -线,此时0θπ=或,0.g k ∴= 所以,纬线是测地线.30.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. 证明 1202k k H +==Q , 12k k ∴=-, 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时,120k k ==, ∴极小曲面的点都是平点; 当0K <时,极小曲面的点都是双曲点.31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线,则它是直线;(2)如果测地线同时是曲率线,则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线,所以0=g k , 曲线又是渐近线,所以,0=n k ,而222=+n g k k k ,所以k=0,故所给曲线是直线. (2) 证法1因曲线是测地线,所以沿此曲线有βr r P n ,所以βr r &P dn ,又曲线是曲率线,所以αrr r P P dn dr ,所以(k )ατγα-+r r rP ,所以0τ=,故所给曲线是平面曲线.证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线,所以沿此曲线有,,n nβαv r r v &P P 而γαβ=⨯r r r ,所以,n γα=±⨯r r r 从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=r r r r r r r r r &&&,又γτβ=-r r&,所以0τ=,故所给曲线是平面曲线.。

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