分式方程及分式应用题【知识点归纳】知识点一、分式方程1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

《1》理解分式方程的有关概念例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）①21123x x -=5 ②223x x -=5x 2-5x=0x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。

（易错点））例2 解方程：100307x x =-.例3. 解关于x 的方程x a b c x b c b x c ab a bc --+--+--=>30()，， 解：原方程化为：x a b c x b c b x c ab---+---+---=1110即x a b c c x b c a a x c a b b---+---+---=0∴---++=>>>∴++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c a b c a b cx a b c x a b c11100011100Θ，，说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式x a b c ---。

若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。

例4. 解关于x 的方程。

ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 222222+++=+++++()()()()()()()a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b222202+-+=+-=+≠∴=-+Θ说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。

练习1. 解关于x 的方程x m n x n m-=-11，其中m n m n ≠≠≠00，，。

练习2. 解关于x 的方程()()a a x x a --+=-1422。

例5． （2011安徽芜湖，5，4分） 分式方程25322x x x-=--的解是（ ）. A ．2x =-B ．2x =C ．1x =D ．12x x ==或例 6. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定ab b a 11-=⊗，若1)1(1=+⊗x ，则x 的值为A ．23B ．31C ． 21D ． 21-例7. （2011四川成都，13,4分） 已知1=x 是分式方程xkx 311=+的根，则实数k =___________.《3》分式方程的增根问题例8. （2011黑龙江绥化，18，3分）分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ）A 、0和1B 、1C 、1和－2D 、3例9. （2011湖北襄阳，16，3分）关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解为正数，则m 的取值范围是 .练习 已知关于x 的方程x x mx --=-323有一个正整数解，求m 的取值范围。

知识点二、分式方程应用题分式方程应用题四步骤1，设未知数一般是问什么就设什么。

如果问题中有两个并列的，则一般设前面那个为x,把后面那个用x 来表示。

如果问题问的量设为x 之后题目中其他的量不容易用来表示，则设题目中容易表示其他量的量为x ，然后把其他的量用x 表示出来即可。

（如第13题要设衬衫的单价而不能设总盈利，设衬衫的单价为x 列出方程，求出x ，再用x 来求出总盈利） 2，找等量关系，从而列方程列方程最重要的是找到等量关系，找到什么等于什么之后，用x 来表示等号两边的量即可得到方程。

那找等量关系的关键在哪呢？如何一眼看出等量关系呢？其实，非常简单。

那就是找到这个题要达到的结果，那句话就是等量关系，所以找等量关系关键就是找到“题目要达到的那句话”。

这句话一般都就是问题的前面那句话，如果不是，再到其他位置找。

3，解分式方程第一步是去分母。

注意是去分母，而不是通分。

去分母的关键就是方程两边同时乘上所有的分母的最小公倍数。

这样可以直接去掉所有的分母。

第二步就是去括号了，利用乘法分配率化简。

第三步移项。

把所有含x 的项移到一边，不含x 的项移到另一边。

第四步合并同类项。

第五步把x 的系数化为1.第六步：检验。

检验结果是否让方程中的分母为零，为零则无意义。

解方程一定要严格按照以上步骤，每一步都达到每一步的结果。

基本所有的分式方程就用以上五步就可以解出。

不要把一步分成两步，去括号那一步就要去掉所有的括号，而不要分成两步来写，如果你认为要计算的太多一步得不到去括号的结果，那就在演草纸上算，把整个去括号的结果写上去即可。

4，当然，最后写上答案就完成了。

【精讲精练】例1、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润=售价-进价，利润率100% =⨯利润进价）思路：第一步：设进价为x元，第二步，找等量关系。

这个题要的那句话就是“从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%”。

可知等号的一边是原来的利润，另一边是后来的利润提高5%。

再利用利润的公式得出方程式。

第三步：解方程第四步：写答案解：设这种计算器原来每个的进价为x元，1分根据题意，得4848(14)1005100(14)x xx x---⨯+=⨯-%%%%%．5分解这个方程，得40x=．8分经检验，40x=是原方程的根．9分答：这种计算器原来每个的进价是40元．10分练习1、（2009，福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。

现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。

假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？例2、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用718小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？练习2、（2009，新疆）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？例3、甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．练习3、（2009，达州）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.求改进设备后平均每天耗煤多少吨？例4、A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？练习4、（2009南充）在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？【课后训练】1. 解下列分式方程：2. a 为何值时，关于x 的方程x x a a +-=-+12235的解等于零？3. 如果a 、b 为定值，关于x 的一次方程3326kx a x bk+=+-，无论取何值，它的根总是1，求a 、b 的值。

4、（2010广东河池非课改，8分）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 5、（2010辽宁沈阳课改，10分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？。