第五节 倒格空间
UESTC
晶体结构是怎么测定的？
UESTC
晶体结构与衍射图样的对应关系？
UESTC
晶体的X光衍射
按照衍射理论，当辐射的波长与晶格中原子的间距 相同或更小时，即可发生显著的衍射现象。
UESTC
晶体衍射的基本方法
1、X射线衍射
X射线是由被高电压V
加速了的电子，打击
hm
axeU
h
c
kk0 Kh
Rl Kh 2πμ
倒格矢
K h h 1 'b 1 h 2 'b 2 h 3 'b 3
UESTC
两种点阵的基矢之间的关系：
ai bj 2ijij 1 if i j ij 0 if i j
UESTC
正格子和倒格子基矢的关系
倒格子基矢
b 1 2 π a 2 a 3 Ω
当 U~0.1,V λ~0.1nm
中子主要受原子核的散射，轻的原子对于中子的散射也很强， 所以常用来决定氢、碳在晶体中的位置。
中子具有磁矩，尤其适合于研究磁性物质的结构。
UESTC
X射线衍射方程
1.劳厄衍射方程
设X射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶 体线度大得多。
(1)入射线和衍射线为平行光线； （2）入射光为单色光 (3)略去康普顿效应； (4) S0和S 分别为入射和衍射线方向的单位矢量； (5)只讨论布喇菲晶格。
a3
由图可知： CAOAOCa1 a3
C Kh
h1 h3 CBOBOCa2 a3
h2 h3
a3/h3 a2/h2
B
O a1/h1 A
a2
a1
KhCA(h1b1h2b2h3b3)a h1 1a h2 2 0
Kh CB(h1b1h2b2h3b3)a h2 2a h3 3 0
所以 Khh1b1h2b2h3b3与晶面族(h1h2h3)正交。
UESTC
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1 a1l2 a2l3 a3
S
Rl
波程差
CO D
C O O D R lS 0R lSR lSS0
衍射加强条件为：
R lS S 0 (为)整劳数 厄衍射方程
波矢 k02πS0,k2πS
λ
λ
R lk k 0 2 π μ
UESTC
R lk k 0 2 π μ
2 π
b1 a2 a3 Ω
b 2 2 π a 3 a 1 Ω
b 3 2 π a 1 a 2 Ω
Ωa1a2a3 1a3 2
i jk
a a
a a a a
a2 a3
a
2 a
a 2 a
a i
2 a
2 a
2
2 a
j2aLeabharlann 222 a
ka2
22
2 a
2
22 2
a2 a2 j k
22
UESTC a2a3 a2 ja2 k 22
UESTC 例：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为
a
d h1h2h3 证明：
h12 h22 h32
法一： 由
2π Kh
d h1h2h3
d 得： h1h2h3
2π K h1h2h3
简立方：a1ai,a2aj,a3ak,
2π
2π
b1 a2a3 i
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
2π
b 2 2 π a 3 a 1 Ω
b 3 2 π a 1 a 2 Ω
b3
a b3 2
a2
a1
b1
a1(a2a3)
正格子与倒格子互为对方的倒格子
UESTC 例：证明体心立方的倒格是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a
a1 2 i j k
a
a2 i j k 2
a 3 a i j k 2
min
eU
在“靶极”物质上而 产生的一种电磁波。
minehU c1.
2103 (nm )
U
当 U104V, λ~0.1nm
在晶体衍射中，常取U ~ 40千伏，所以 ~
0.03nm
UESTC
劳厄与晶体X射线衍射
德国慕尼黑大学理论物理学家 X射线衍射的发现者 1914年诺贝尔物理学奖
Max von Laue 1979-1960
Ω * 2π 3a2a3Ω a1(2)3
Ω
UESTC
正点阵中晶面族与倒易位矢的关系
UESTC(1)证明 Khh1b1h2b2h3b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1,a2,a3上的 截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
c 2 π a b Ω
Ω(ab)c
K h klh akb lc
d hkl
2
K hkl
UESTC
倒易点阵的物理意义：
(1) 倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组晶面相对 应的；
(2) 倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方向；
(3) 倒易点阵基矢的大小是该晶面族的晶面间距的倒 数的2π倍。单位为长度的倒数
a 1(a 2a 3)
倒易点阵的体积为：
*b 1(b 2 b 3)
UESTC 正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于(2π)3
*(2)3a2a3(a3a 1a 1a2)
A B C ( A C ) B ( A B ) C
a 3 a 1 a 1 a 2
a 3 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 1 a 2 Ω a 1
UESTC 2.电子衍射
h , P 2 eU , P 2meU,
P 2m
h
2meU
1.5（nm）
U 当 U 15 , λ 0 ~ 0 V （ .n 1 ） m
电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子衍 射主要用来观察薄膜。
UESTC 3.中子衍射
m中200m电 0
1.5 7.5102nm 200U0 U
Ωa1a2a3 1a3 2
b12Ω πa2a3
2π a2
2π
a3
jk jk
2
a
2
同理得：
2π
b2 a i k
b3
2π a
i
j
倒格矢：
b12aπ jk
b2
2π a
i
k
b3
2π a
i
j
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方
UESTC 两种格子原胞体积之间的关系
正点阵晶胞的体积为：
2π
UESTC
(2)证明 Khh1b1h2b2h3b3 的长度等于
。
d h1h2h3
由平面方程： X n d 得：
d h1h2h3
a1 h1
Kh Kh
a1 h1b1 h2b2 h3b3 2 π
h1
Kh
Kh
在晶胞坐标系 a , b , c 中，
a 2 π b c Ω
b 2 π c a Ω
2π
b3 a1a2 k