教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课 类型
T (立体图形相关知识点) C （典型例题试题讲解） T （拓展提高）
授课日
期时段
教学内容
知识点一：表面积
1、长方体表面积=长x 宽× 2+ 宽× 高× 2+ 长×高× 2 字母公式：S=ax b× 2+ a× c× 2+ b×c× 2 或者：长方体的表面积 =( 长×宽 + 长×高 + 宽×高 ) × 2 。
字母公式：S=(ax b+ a× c+ b×c)× 2
2、正方体的表面积 =棱长×棱长×6。
字母公式：S=a ×a× 6
3、圆柱体的表面积：圆柱表面积=上底+下底+侧面（侧面面积=底面圆的周长×圆柱的高） 用字母表示：2
2s r ch π=+
注：侧面积的求法：已知底面半径和高，rh π侧2
s = 已知底面直径和高，dh π侧=s
知识点二：体积
1、长方体体积：长方体体积= ① 长×宽×高 （Ｖ＝ａｂｈ）
② 底面积×高=横截面积×长 （V =sh ） 2、正方体的体积：正方体体积＝棱长×棱长×棱长
检测题1：把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形．已知这个圆柱的高是10厘米，它的侧面积
是（ ）平方厘米．
A ．50
B ．100
C ．50π
D ．100π
答案：B
检测题2．把一个棱长4厘米的正方体分割成两个长方体，表面积增加了______平方厘米．
答案：64
检测题3 一个正方体的棱长之和是48厘米，它的棱长是______厘米，表面积是______平方厘米，
体积是______立方厘米． 答案：2 24 8
检测题4 把两个棱长5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是______平方厘米．
答案：250
检测题5．一个练功房铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木地板，这个练功房的
面积有______平方米．
答案：这个练功房的面积有80平方米．
检测题6．圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小到原来的2
1
，它的体积就（ ）
答案：扩大2倍
检测题7．做一个圆柱体，侧面积是9.42平方厘米，高是3厘米，它的底面半径是______．
答案：1.57cm
一、专题精讲
例1.如图是高为10厘米的圆柱，如果它的高增加4 厘米，那么它表面积就增加125.6平方厘米。
原来圆柱的体积是（ ）立方厘米
答案解析：785
例2. 用一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸板围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是（）平方厘米。
答案解析：2×3=6 2×3×5×7=210
答案解析：320
例3.一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的高是6.28厘米，它的底面积是（）平方厘米。
答案解析：3.14
例4. 一个长方体棱长之和是220cm，长与宽的比为2：1，宽与高的比为3：2，求长方体的体积．答案解析：
长与宽之比为2：1=6：3，宽与高之比为3：2
可得：长：宽：高=6：3：2，
一组长宽高的和是：220÷4=55（厘米），
6+3+2=11，
所以长方体的长是：55×6 11 =30（厘米），
宽是：55×3 11 =15（厘米），
高是：55×2 11 =10（厘米），
所以长方体的体积是：30×15×10=4500（立方厘米），
答：长方体的体积是4500立方厘米．
例5. 用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮（如图）做一个高为5厘米的无盖盒子。
a）画一画：应该怎样下料，在图上标出来并算一算这个盒子的容积；
b）想一想：你能利用这块铁皮把盒子的容积做得更大一些吗？若能请在第二个图上画出来。
答案解析：
根据题干分析：
（a）在四角分别剪掉边长为5厘米的正方形，得到的长方体的容积为：
（30﹣5×2）×（20﹣5×2）×5=20×10×5=1000（立方厘米），
答：此时长方体的容积为1000立方厘米；
（b）在四角分别剪掉边长为4厘米的正方形，如图所示，由此即可得出一个长为30﹣4×2=22厘米、宽为20﹣4×2=12厘米、高为4厘米的无盖的长方体；如下图所示，其容积最大；
此时容积较大为：（30﹣4×2）×（20﹣4×2）×4=22×12×4=1056（立方厘米）
答：如此剪切时长方体的容积较大，为1056立方厘米。
例6. 有一个完全封闭的容器，从里面量，长是20cm，宽是16cm，高是10cm，平时里面装了7cm 高的水，如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少（单位：cm）?
答案解析：
解：20×16×7÷（16×10）=14cm
答：水的高度是14cm。
例7:雨哗哗地不停地下着，如在雨地里放一个如图1那样的长方体形状的容器，雨水将它下满要用1小时，有下列（A）﹣（E）不同的容器（图2），雨水下满各需多少时间？（注：面是朝上的敞口部分）
例8：有一个圆柱形的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图，圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。
如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，
一共需要涂多少平方厘米？
【检测题4】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)
【答案解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积． (法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．
可知，圆柱体的高为()
250.24 3.1424÷⨯=(厘米)，所以增加的表面积为24216⨯⨯=(平方厘米)； (法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.142 6.28⨯=厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.288÷=平方厘米，所以增加的表面积为8216⨯=平方厘米．
【检测题4】一个棱长6分米的正方体，在它的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体体积的百分之几？
【答案解析】直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等，剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积。
解：正方体体积：6×6×6＝216（立方厘米） 圆锥的体积：
3
1
×3.14×（6÷2）2×6＝56.52（立方厘米） 剩下体积占正方体的百分之几： （216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％
答：剩下体积占正方体体积的73.8％。
【检测题5】(”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)
8
(单位：厘米)
4
10
6
【答案解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082-=厘米的圆柱，瓶子的容积为这部
分之和，所以瓶子的容积为：24
π()(62) 3.1432100.482
⨯⨯+=⨯=(立方厘米)．
三、学法提炼
1、学习本章节内容要结合生活实际，对长立体图形的组成和各部分的特点牢记
一、 能力培养
综合题1：如右图，一个正方体形状的木块，棱长l 米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4
长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【答案解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l =1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．
综合题2：一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都。