关于初中希望杯培训的几点建议一、等积变形与面积计算例1. 如图，ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形.O 是BF 与EG 的交点.如果正方形ABCD的面积是9平方厘米，CG = 2厘米.则阴影DEO ∆的面积是（ ）平方厘米.（A ）6.25 （B ）5.75 （C ）4.50 （D ）3.75解. 连接BD ，易知BD//EG ，所以EDO ∆与BEO ∆的面积相等.由于O 是正方形BEFG 的对角线BF 与EG 的交点，所以BEO ∆的面积等于正方形BEFG 面积的四分之一.因为正方形ABCD 的面积是9平方厘米，所以边长BC = 3厘米.又CG = 2厘米，因此 BG = 5厘米.所以正方形BEFG 的面积等于25平方厘米.所以EDO ∆的面积=BEO ∆的面积 =25 6.254=（平方厘米）. 选（A ）. 例2.如图所示，在ABC ∆中90ACB ∠= ，AC = 8厘米，B C = 6厘米. 分别以AC 、BC 为边向形外作正方形ACDE ，BCFG . 设图中阴影三角形BEF 的面积为a ，六边形ABGFDE 面积为s . 则a = 平方厘米；且a s = . 解. 易知 168242ABC CDF S S ∆∆==⨯⨯=（平方厘米），正方形ACDE 的面积= 82 = 64（平方厘米），正方形BCFG 的面积 = 62 = 36（平方厘米）.所以六边形ABGFDE 的面积s = 24 + 24 + 64 + 36 = 148（平方厘米）. 连结 CE ，则24CEF CDF S S ∆∆==，24CEB ABC S S ∆∆==，而2618,2BCF S ∆==所以 阴影三角形BEF 的面积a = 24 + 24 + 18 = 66（平方厘米）.所以6633.14874a s == 例3. 如图所示，三角形ABC 的面积为1，E 是AC 边的中点.O 是BE 的中点. 连接AO交BC 于D ，连接CO 交AB 于F . 求四边形BDOF的面积.解. 如题图所示，设BOF ∆的面积 = x ，BOD ∆的面积= y .因为E 是AC 边的中点.O 是BE 的中点，又已知三角形ABC 的面积为1，所以AOE ∆的面积=COE ∆的面积=AOB ∆的面积=COB ∆的面积14=. 则 AOF ∆的面积14x =-，ACF ∆的面积34x =-，BCF ∆的面积14x =+ 由AOF AF ACF BOF BF BCF ∆∆==∆∆的面积的面积的面积的面积，得 134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-. 也就是 112x =. 又 COD ∆的面积14y =-，ACD ∆的面积34y =-，ABD ∆的面积14y =+. 由BOD BD ABD COD CD ACD ∆∆==∆∆的面积的面积的面积的面积，得 141344y y y y +=--，即2213164y y y -=-. 也就是 112y =. 所以四边形BDOF 的面积 111212x y =+=+1.6= 例4.在矩形ABCD 中，放入6个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示.试求图中阴影部分的总面积.解：设小长方形的长为x ，宽为y .由图33可得，314x y += ①26x y y +-= ②① - ② 得，48 2.y y =⇒= 将y =2代入②，得 x = 8.因此，矩形ABCD 的面积 =14×10 =140（cm 2）.图中阴影部分的总面积=140-6×2×8 = 44（cm 2）.例5. ABC ∆的面积是1.如图所示：,.AD DE EC BG GF FC ====求阴影四边形的面积.分析：易知1.3BCE S ∆=若再求得四边形FNEC 和 BGM ∆的面积，即可求出阴影四边形GMNF 的面积.解：（1）先求四边形FNEC 的面积.,.FNC ECNS x S y ∆∆==则3,3.BNC ANC S x S y ∆∆==则 由13BEC AFC S S ∆∆==得 133x y += ① （图1） 133x y += ② ① + ② 得 214436x y x y +=⇒+=.即四边形FNEC 的面积=16. （2）再求BGM ∆的面积.如图2，连接MC .设BGM ∆的面积 = u ，则MEC ∆的面积 = v .则CGM ∆的面积 = 2u ，MAC ∆的面积 = 3v .因此133u v +=① （图2） 2233u v += ② 3×①-② 得117.321u u =⇒= 即BGM ∆的面积 = 121. 所以，阴影四边形GMNF 的面积 =1115.362142--=二、整数整除与周期问题例1．今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第二试的日子，那么今天以后的第42007＋15天是星期 .解：因为 422222007[(72865)][(7286272865+25]=⨯+=⨯+⨯⨯⨯）（）＝222(725)(7734)(74)a a b +=+⨯+=+7167722c c =+=+⨯+（其中,,a b c 都是正整数），所以42007＋157722157743c c =+⨯++=+⨯+，即今天以后的第42007＋15天是星期三. 例2.已知7641808x yz ⨯=，其中x ，y ，z 代表非0数字.那么222x y z ++= .解：由尾数分析可知：x 只可能是3或8.即773x =或778x =.而41808572.7173= 不是整数，41808536.78= 所以8,5,3x y z ===.因此22222285398.x y z ++=++= 例3.（1）证明：奇数的平方被8除余1.（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.解：（1）设n 为任意整数，则2n + 1为任意奇数.则 22(21)4414(1)1n n n n n +=++=++由于(1)n n +是两个相邻整数的乘积可被2整除，所以4(1)n n +被8整除，因此2(21)4(1)1n n n +=++被8除余1.即奇数的平方被8除余1.（2）若2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是2222123102006x x x x ++++= ，（其中12310,,,,x x x x 都是奇数）则等式左边10个奇数平方之和被8除余2，而2006被8除余6.矛盾！所以，2006不能表示为10个奇数的平方之和.例4. 将1、2、3、4、5、……、2006依从小到大，排成一个多位数，记作：200601112131234567891 =A ，则A是一个位的自然数；A的所有的数码的和等于 .解.（1）由于2006A，1～9共9个数码，两位数10～99=01112131234567891共2×90=180个数码，三位数100～999共3×900=2700个数码，四位数1000～2006共4×1007=4028个位数码. A总计有9 + 180 + 2700 + 4028 = 6917个位数码.即A 是一个6917位的自然数.（2）将1和998，2和997，3和996，……，499和500配对，再加上999，所以由1～999的数字和为27×500 = 13500.再看1000～1999可这样搭配：1000和1999、1001和1998、…、1499和1500，其数字和为29的共500对，所以1000～1999的500个数的数字和29×500=14500.剩下的2000、2001、2002、2003、2004、2005、2006数码的和是35，所以，A的所有的数码的和等于27×500 + 29×500 + 35 = 28035.三、能与不能与构造反证例1. 你能找到三个整数a，b，c，使得关系式babccca+aa成立吗？bcb+)((=)()()-+-3388+-+如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由。

解：不能找到。

原因是如果存在三个整数a，b，c，使得关系式+abccbacabcab+)()()()3388+(=-++--成立，则左边的四个因式都是整数。

而3388是个偶数，所以左边的四个因式中至少有一个是偶数。

不妨设a + b + c是偶数，易知a -b + c，a + b- c，b + c- a都是偶数。

因此，等式左边被16整除，而等式右边的3388不能被16整除，矛盾！所以，不能找到三个整数a，b，c，使得关系式b+abcacba成立。

bcac++)()()3388(=)(-++--例2. 某位同学想要选取五张边长不等的正方形纸片，如图所示拼成一个大正方形ABCD.请问该同学的想法能实现吗？如果能，请写出选取的五个正方形边长的一组数值；如果不能，请说明理由。

解：如果某同学的拼图法能实现，即存在5张边长不等的正方形纸片如图拼成大正方形ABCD ，那么不妨设中间小正方形的边长为x ， 显然，.0>x 右下角那个正方形的边长为y ，则右上角正方形的边长为x + y ，左上角正方形的边长为2x + y ，左下角正方形的边长为3x + y .于是AD =5x +2y ，BC =x +2y .要ABCD 是正方形，必须CD =BC ，由CD =BC 得3x +2y = x +2y ，解得x =0. 这与0>x ，即与中间的小正方形的存在相矛盾。

所以该同学用5个正方形如图所示拼成大正方形的想法是不能实现的。

例3. 是否可以在右图中的四个圆圈内填入4个两两不同的数，使得任何两个圆圈中所填数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平和？如果可以填，请填出一例；如若不能填，请说明理由。

解. 不能填。

理由如下：设所填的两两不等的4个数为a,b ,c 和d ，则有 ;;;222222222222d c b a b c d a d b c a +=++=++=+第一式减第二式，得,022=-d c因为c d ≠，易知c 和d 均不为0，只能是 d c -=…………①类似地，第一式减第三式，得220c b -=，因为c b ≠，易知c 和b 均不为0，只能是b c -=…………②比较①、②得b=d ，与已知b d ≠矛盾。

所以，题设要求的填数法不存在。

例4.（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法。

（2）能否在平面上画出7条直线（任意三条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交？如果能请画出一例，如果不能请说明理由。