解
1 1 fY ( y ) fX ( y 2) 3 3
1 2 y 3 2 y 2 2e 0 3 3 0 其它
2 2( y3 2） e 3 0
y2 其它
x , 0 x4 例： X ~ f ( x) 8 时，定理为真
例1.已知 X 的 d.f.为 f X ( x), Y aX b, a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y ) 解 y b
y g ( x) ax b, x h( y ) 1 h( y) . a
a
,
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
一维连续型随机变量 函数的分布
一般地,对 y= g(x)是严格单调函数,有下面的结论.
定理 设X是一个连续型随机变量，其密度函数
为 f(x), 又函数 y= g(x) 严格单调，其反函数 h ( y ) 有连续导数，则 Y = g (X) 也是一个连续型随机 变量，且其密度函数为
f X [ h( y )] h( y ) fY ( y ) 0
1 3
Y X 3， fY ( y )。 求
y g ( x) x3， x y h ( y ) 解：
g '( x) 3x 0， fY ( y) 1 y f X ( y ) 3
2
2 3 1 3
1 1 y 3 , 0 y 64 fY ( y ) 24 0, 其他
Y ~ N (a b, a )
2 2
一般若X ~ N ( , 2 )， aX b Y ~ N (a b, a 2 2 ) Y
特别地 ，若
则
X ~ N ( , 2) , X Y ~ N (0,1)
例2.5.5 X ~ E (2), Y = – 3X + 2 , 求Y的分布密度.
fY ( y )
1 y b fX ( ) a a
例2：X ~ N ( , 2 )， aX b(a 0)， Y的概率密度fY ( y). 设 Y 求 解：y g ( x) ax b， g '( x) a 0， y b x h( y ) a [ y ( a b )]2 1 y b 1 2 a2 2 fY ( y ) fX ( ) e a a 2 a
y
其它
其中 min{ g (), g ()},
max{ g (), g ()}
证明：不妨设g '( x) 0, 则g x 为单调增函数,
且：h '( y) 0
显然， 当 y 时，F Y ( y) 0; 当 y 时, FY ( y) 1
y
y
y=g(x)
h(y),y
当 y 时，
P( X h( y))
h( y )
0
x
FY ( y ) P(Y y ) P( g ( X ) y)

f X (t )dt
fY ( y ) f X (h( y ))h '( y) f X (h( y)) h '( y)