高中数学数列基本题型及解法例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。

解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例3．设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。

解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(Ⅱ)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列.例4、设a 1=1,a 2=35,a n +2=35a n +1-32a n (n =1,2,---),令b n =a n +1-a n (n =1,2---)求数列{b n }的通项公式，(2)求数列{na n }的前n 项的和S n 。

解：（I ）因121+++-=n n n a a b 1115222()3333n n n n n n a a a a a b +++=--=-= 故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32( ==n b n n（II ）由得n n n n a a b )32(1=-=+)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=-注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n nn记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则1222222212(),2()()333333n n n n T n T n -=+⋅++⋅=+⋅++⋅2112222221()()()3[1()](),3333333n n n n n T n n -=++++-=--两式相减得1112122(3)29[1()]3()93333(3)223(12)2(1)1823nn n n n n n n n n n T n n S a a na n T n n -+-+=--=-+=+++=+++-=++-故从而例6．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；⑶设n b =)12(1n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2382-=⇒+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=- 6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521 4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n故=n S409922+--n n n n65≥≤n n（3）)111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n∴n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=n n 若32m T n >对任意*N n ∈成立，即161mn n >+对任意*N n ∈成立， )(1*N n n n ∈+ 的最小值是21，,2116<∴m m ∴的最大整数值是7。

即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32mT n >说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。

.常用方法一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：110-=nn a（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n . 观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系。

二、定义法例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2， ∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解 易知,121-=--n a a n n∵,312=-a a,523=-a a ,734=-a a……,121-=--n a a n n各式相加得)12(7531-++++=-n a a n ∴)(52N n n a n ∈+=一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++ 能进行求和，则宜采用此方法求解。

四、叠乘法例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n na a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 11433221=-⋅⋅ 所以n a n1= 一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式，当)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。

例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）13-+=n n S n 。

（2）12-=n s n解： （1）11111-+==S an a =1--n n S S =[]1)1()1()1(33--+---+n n n n =3232+-n n此时，112S a ==。

∴n a =3232+-n n 为所求数列的通项公式。

（2）011==s a ，当2≥n 时12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式 。

∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n注意要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例6. 设数列{}n a 的首项为a 1=1，前n 项和S n 满足关系),4,3,2,0(3)32(31 =>=+--n t t S t tS n n求证：数列{}n a 是等比数列。

解析：因为)1(),4,3,2,0(3)32(31 =>=+--n t t S t tS n n所以)2(),4,3,2,0(3)32(321 =>=+---n t t S t tS n n 得：)2()1(-所以，数列{}n a 是等比数列。

六、阶差法例7.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系是 nn n b ba S )1(11+-+-= ，其中b 是与n 无关的常数，且1-≠b 。