东华理工大学数学建模一周论文论文题目：乒乓球赛问题姓名1：夏国图学号：2姓名2：蔡鹏泽学号：2姓名3：吕玉林学号：2专业：核工程与核技术班级：指导教师：黄涛2016年1月7日摘要“乒乓球赛”数学模型是根据参赛人出场顺序不同，来探讨如何有效地获取最大几率的胜利。
就我们所知道的，在奥运会中，乒乓球赛是以五局三胜制来决定胜负，因为五局三胜制更能体现运动员的综合能力。
如何最大可能获取胜利，是每个队共同追求的，建立乒乓球模型，可以帮助我们更快解决这一难题，乒乓球的建模问题可以与数学的建模问题联合起来。
以“五局三胜制”进行乒乓球赛，虽然两队实力相当，但不同的出场顺序可能导致不同的结果，所以合理的安排是取得成功的关键。
题中所给矩阵也只是打满五局A队获胜的预测结果。
根据矩阵来说明两队实力的强弱，不同的出场方案会有不同的结果。
当站在A队的角度，分析采取不同的出场方案。
对“五局三胜制”的乒乓球赛，我们进行了假设、分析、建模、解模。
A队以i次序出场、B队以j 次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举，比较双方的实力。
从矩阵中可知，A队以i次序出场而B队以j次序出场，则打满5局A队可胜局，A、B两支队伍实力的强弱与胜利的次数有关，由A队在5局比赛中获胜的概率分布为：, k=0,1,2,3,4,5 ,然后计算五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：在矩阵中A队以i次序出场、B队以j次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率。
建模目的：通过两支乒乓球队过去所比赛胜负的记录来预测将要进行一场五局三胜制的比赛的胜负情况，并对该预测方式的优缺点进行分析，最后以本次预测方式为基础，对乒乓球比赛赛制方式进行分析点评以及提出了一些新的比赛方式。
问题重述1.背景：两队乒乓球比赛，由于各队员的不同出场顺序也是不同，导致比赛的结果也不同。
基于以上问题，讨论不同队员出场顺序比赛对于比赛结果的影响。
2.问题：A 、B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,ααα 和123,,βββ）。
根据过去的比赛记录，可以预测出如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜ij a 局。
由此得矩阵()ij R a =如下：123123214034531R βββααα⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1） 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3） 如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？问题分析乒乓球比赛对阵双方谁获胜可以看作是概率问题。
根据题目意思，两队各派3名选手上场，并各有3种出场顺序（分别记为123,,ααα和123,,βββ）。
而且根据以往经验给出了打满5局A 队可胜的局数构成的矩阵（如题图）。
我们可以通过这个矩阵求出在双方某种出场顺序下，A 队每一局获胜的概率，并求出对应矩阵。
由于是五局三胜制，获胜情况包括：1.前三局获胜，整场结束。
2.打完四局后才结束，即前三局只赢了两局。
3.打完第五局后才结束，即前四局只赢了两局。
我们进而可以求出整场比赛下来，A 队获胜的概率。
对于问题一，我们可以通过比较对阵双方在各种出场顺序情况下，赢得整场比赛的概率平均值来判断哪一方的实力更强。
对于问题二，我们可以求出每队在选择某一出场顺序下，赢得整场比赛的概率，这其实可以看成是条件概率的问题。
概率平均值大的即为所求的稳妥方案。
例如A 队选择a1出场方案的情况下赢得整场比赛的概率，求出在B 队以各种出场方案情况下，A 队获胜概率的平均值，若此平均值比a2,a3的情况下大，则对A 队来说，a1方案即为稳妥方案。
在这里，还要求出B 队的各种矩阵。
对于问题三，与问题二类似，较为稳妥的方案即为所要的方案。
对于问题四，由于比赛存在还没有打满五场就结束的情况，因为比赛是采取五局三胜制的，如果在还没打完五局的情况下比赛就结束了，那么接下来的比赛就没有进行下去的必要了。
模型的假设和约定1.假设各队的队员都正常发挥。
2.不考虑外界因素对于各队员发挥的影响。
3.双方各队员的出场顺序都互补影响，相互独立。
符号说明αi ：A 队的选手βj：B 队的选手 p ij：A 队获胜的概率qij：A 队最后获胜的概率R ：在打满5局，A 队可胜局数的矩阵。
Q ： 在打满5局，B 队可胜局数的矩阵。
1R : 在打满5局，A 队每局可胜的概率矩阵。
2R : 在打满5局，A 队最终可胜的概率矩阵。
1Q : 在打满5局，B 队每局可胜的概率矩阵。
2Q : 在打满5局，B 队最终可胜概率的矩阵。
模型的建立A 队打满五局时A 队可胜的局数ija 局的矩阵()ij R a =已知：123123214034531R βββααα⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由此我们可知B 队打满五局时B 队可胜的局数ij b 局的矩阵)(ij b Q =如下：411224053Q321321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=βββααα 对于A 队，由R 矩阵可以求得矩阵R1，ij P 1=/5a ij⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2.06.018.06.008.02.04.01R 同理对于B 队：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==8.02.02.04.04.08.0016.01Q 2）（ij P比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。
下面我们来计算在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率：一、A 队最后获胜，可以分成下列几种情况： 令ij ij P 1p =（1）A 队前三局获胜。
这种情况的概率为 3ji p ；(图中为A 队赢)（2）在前三局中A 队胜二局，B 队胜一局，第四局A 队又胜一局。
这种情况的概率为)1(3)1(3223j i j i j i j i j i p p p p p C -=-；（3）在前四局中A 队胜二局，最后A 队又胜一局。
这种情况的概率为232224)1(6)1(j i j i j i j i j i p p p p p C -=-；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率=j i q 2333)1(6)1(3j i j i j i j i j i p p p p p -+-+)]21(6)1(31[23j i j i j i j i p p p p +-+-+=)61510(23j i j i j i p p p +-= 。
将⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2.06.018.06.008.02.04.01R 各数值代入上式，可以计算出A 队最后获胜的一个矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==06.068.0194.068.0094.006.032.0)(2R ij r二、对于B 队，最后获胜，可以分成下列几种情况： 令ij ij P 2p =;同理由上可知B 队获胜情况可分为三种。
（1）B 队前三局获胜。
这种情况的概率为3ji p ；（2）在前三局中B 队胜二局，A 队胜一局，第四局B 队又胜一局。
这种情况的概率为)1(3)1(3223j i j i j i j i j i p p p p p C -=- ；（3）在前四局中B 队胜二局，最后B 队又胜一局。
这种情况的概率为232224)1(6)1(j i j i j i j i j i p p p p p C -=-；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率=j i q 2333)1(6)1(3j i j i j i j i j i p p p p p -+-+)]21(6)1(31[23j i j i j i j i p p p p +-+-+=)61510(23j i j i j i p p p +-= 。
将⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8.02.02.04.04.08.0016.01Q 各数值代入上式，可以计算出B 队最后获胜的一个矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==94.006.006.032.032.094.00186.0q 2Q ）（ij 。
问题1：最后平均获胜概率为：A 队9/p131i 31⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==ij j rB 队9/q 2p 31i 31⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==ij j取p1,p2中大者所属队即为实力更强的。
问题2：对于A 队，若选用1α出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jr α； 若选用2α出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j r α； 若选用3α出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 33⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jr α；对于B 队，若选用1β出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=j q β；若选用2β出场顺序，平均获胜概率为3/p 31j 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j q β； 若选用3β出场顺序，平均获胜概率为 3/q p 31j 33⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=j β；稳妥方案即为选平均获胜概率最大的那种出场方案。
即：A 队选用1p α，2p α，3p α中较大的那种出场顺序。
B 队选用1p β，2p β，3p β中较大的那种出场顺序。
问题3：此问题类似问题2，选用较为稳妥的方案即是。
问题4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。
模型求解问题1：依题目所给的数据，52.09/p131i 31=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==ij j r ,48.09/q 2p 31i 31=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==ij j 。
队的实力更强些。
A ∴>2p 1p问题2：依题目A 队所给的数据，44.03/p 31j 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j r α 54.03/p 31j 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=j r α58.03/p 31j 33=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jr α 所以A 队最稳妥的方案是3α出场顺序。
依题目B 队所给的数据56.03/p 31j 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j q β 53.03/p 31j 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=jq β 35.03/q p 31j 33=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=j β所以B 队最稳妥的出场顺序是1β出场顺序。
所以当A 队以3α，B 队以1β出场顺序，时，找到对应的R2，或者Q2矩阵，得知，最终将是A 队获胜。
问题3：由问题2，知在稳妥的方案下，A 队获胜的概率为1，所以会选用以3α 的出场顺序参赛。
问题4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。
模型优缺点分析比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。
优点：虽是在打满五局的情况下得到的，但是可以推测两队的实力情况，进而指导出场方案。