《信号与系统》课程习题集一、计算题1. 已知一连续时间LTI 系统，输入为()(2)n f t t n δ+∞=-∞=-∑，单位冲激响应sin 3()t th t π=。

（1）求()f t 的傅里叶级数系数k a ，以及傅里叶变换()F j ω。

（2）求该系统的频率响应)(ωj H ，并概略画出其波形。

（3）求该系统输出)(t y ，以及)(ωj Y 。

2. 已知一连续时间理想高通滤波器S ，其频率响应是1,400()0,H j otherωω⎧≥⎪=⎨⎪⎩。

当该滤波器的输入是一个基波周期4T π=且傅里叶级数系数为k a 的信号()f t 时，发现有()()()Sf t y t f t −−→=。

问对于什么样的k 值，才能保证0=k a ？3. 已知一连续时间理想低通滤波器S ，其频率响应是1,200()0,>200H j ωωω⎧≤⎪=⎨⎪⎩。

当该滤波器的输入是一个基波周期8T π=且傅里叶级数系数为k a 的信号()f t 时，发现有()()()Sf t y t f t −−→=。

问对于什么样的k 值，才能保证0=k a ？4. 已知一连续时间LTI 系统，输入为()(),4n f t t nT T δ+∞=-∞=-=∑，单位冲激响应sin 2()tth t π=。

（1）求()f t 的傅里叶级数系数k a ，以及傅里叶变换()F j ω。

（2）求该系统的频率响应)(ωj H ，并概略画出其波形。

（3）求该系统输出)(t y ，以及)(ωj Y 。

5. 已知一连续时间LTI 系统，单位冲激响应sin ()t th t ππ=，输入()f t 为如图所示周期性方波。

（1）求()f t 的傅里叶级数系数k a 。

（2）求该系统的频率响应)(ωj H ，并概略画出其波形。

（3）求该系统输出)(t y ，以及)(ωj Y 。

6. 已知常系数线性微分方程描述的连续时间因果线性时不变系统。

22()()()712()d y t dy t df t y t dt dt dt ++=（1）求系统函数)(s H 。

（2）画出系统的零极点及收敛域。

（3）判断系统的稳定性。

（4）当输入(),tf t e t =-∞<<+∞时，求输出?)(=t y7. 已知连续时间稳定LTI 系统的系统函数)(s H 的零极点图，如图所示。

并且53)1(-=H 。

（1）求系统函数)(s H ，并确定它的收敛域。

（2）判断系统的因果性。

（3）求描述该系统的常系数线性微分方程。

（4）当输入()2()()tf t e u t u t -=-时，求输出?)(=t y8. 已知连续时间线性时不变系统的系统函数)4)(2()(++=s s ss H 。

（1）求出系统所有可能的收敛域。

（2）画出系统的零、极点图，并在图上标注当系统满足因果性时收敛域。

（3）写出表征该系统的常系数线性微分方程。

（4）当系统输入3(),t f t e t =-∞<<+∞时，求系统输出?)(=t y 。

9. 已知一LTI 系统的初始状态为0，当输入为)()(2t u e t f t -=时，响应是)(31)(32)(2t u e t u e t y t t --+=。

（1）求系统的系统函数H(s)及收敛域并判定系统的稳定性；（2）写出描述系统的微分方程； （3）画出系统的信流图； （4）若系统的输入+∞<<∞-=t et f t2)(，，求响应y(t).10. 某系统模拟图如下图所示。

（1）求系统的系统函数H(s)；（2）求系统的冲击响应；（3）写出描述系统的微分方程；（4）若系统的输入()(),tf t e u t =-求响应y(t)？11. 某系统模拟图如下图所示。

，（1）写出系统函数H(z);（2）画出零极点图，标明收敛域，并说明系统是否稳定； （3）写出系统的差分方程； （4）系统的单位冲击响应。

12. 已知一稳定的离散LTI 系统，描述系统的差分方程为]1[21][]1[31][-+=--n f n f n y n y 。

（1）求该系统的系统函数H(z)，标明收敛域，画出零极点图；（2）求系统的单位冲击响应h[n]；（3）若系统的输入为][)41(][n u n f n=，求系统的零状态响应y[n]； （4）判断系统的稳定性。

13. 已知离散时间因果线性时不变系统的系统函数11()12H z z -=-。

（1）判断系统的稳定性。

（2）求系统的单位冲激响应][n h 。

（3）求描述该系统的常系数线性差分方程。

（4）画出系统方框图。

14. 已知常系数线性差分方程描述的离散时间因果线性时不变系统1[][1][]7y n y n x n --=（1）求该系统的系统函数)(z H ，指出收敛域。

（2）判断该系统的稳定性。

（3）求该系统的单位冲激响应][n h 。

（4）画出系统方框图。

15. 某离散时间稳定线性时不变系统的系统函数)(z H 的零极点图如图所示，且4)4(=H 。

（1）确定该系统的系统函数)(z H ，指出收敛域。

（2）判断该系统的因果性。

（3）求系统的单位冲激响应][n h 。

（4）写出表征该系统的常系数线性差分方程。

二、判断题16. 输入)(t f 与输出)(t y 满足1)(2)(+=t f t y 的连续系统是线性系统。

( ) 17. 输入)(t f 与输出)(t y 满足()[]t f t y sin )(=的连续系统是时不变系统。

( ) 18. 输入)(t f 与输出)(t y 满足()1)(+=t x t y 的连续系统是非因果系统。

( ) 19. 输入)(t f 与输出)(t y 满足()ττd x t y t⎰∞-=2)(的连续系统是记忆系统。

( )20. 输入)(t f 与输出)(t y 满足()1)(+=t tx t y 的连续系统是稳定系统。

( ) 21. 因果稳定LTI 连续系统的单位冲激响应满足：)()()(t u t h t h =及∞<⎰+∞∞-dt t h )(。

( )22. 在听录音时，我们将磁带慢放，耳朵听到的音乐变柔和了。

这是因为信号在时域上进行了扩展，而在频域上表现出压缩(减少了高频分量)的缘故。

( )23. 周期矩形脉冲的谱线间隔与脉冲周期和宽度有关。

( ) 24. 现实中遇到的周期信号都存在傅利叶级数，因为它们都满足狄里赫利条件。

( ) 25. 所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是减小的。

( ) 26. 连续时间线性时不变系统的系统函数为)2)(1(1)(-+-=s s s s H 。

该系统不可能满足既因果又稳定。

( )27. 已知信号)(t f 的拉普拉斯变换为0}Re{,)()9(12>=+s s F s s ，则其傅立叶变换存在且为)9(12)(+=ωωωj j F 。

( )28. 信号的复频域分析，实质是将信号分解为复指数信号的线性组合。

( )29. 理想低通滤波器实际上是不可实现的非因果系统。

( ) 30. 满足绝对可积条件的信号一定存在傅里叶变换，不满足这一条件的信号一定不存在傅里叶变换。

( )三、 填空题31. _____)()32(20104020⎰+∞∞-=++dt t t t δ32. ⎰+∞∞-=+++_____)1()53(2dt t t t δ33. _____)8()43(176⎰--=-⋅++dt t t t δ34.[]_____)cos(=∑+∞-∞=n n n δπ 35.[]_____)sin(=∑+∞-∞=n n n δπ36. 信号)2()(-=t t f δ的傅里叶变换为_____)(=ωj F 37. 信号)()(10t u e t f t -=的傅里叶变换为_____)(=ωj F 38. 信号)()()52(t u e t f t j +-=的傅里叶变换为_____)(=ωj F 39. 信号)()()1(2t u e t f t --=的傅里叶变换为_____)(=ωj F 40. 信号)3()()3(-=--t u e t f t 的傅里叶变换为_____)(=ωj F 。

41. 连续时间信号)(t f 的最高角频率为πω10000max =s rad /。

若对其采样，则奈奎斯特率为_____=s ω42. 对最高角频率为πω10000max =s rad /的连续时间带限信号)(t f 进行采样。

若使)(t f 能从它的样本点中恢复出来，则要求采样角频率s ω满足_____。

43. 对连续时间带限信号)(t f 进行采样，采样角频率πω20000=s s rad /。

若使)(t f 能从它的样本点中恢复出来，则)(t f 的最高角频率max ω必须满足_____。

44. 已知信号)()(5t u e t f t -=，则)(t f 的LT 变换_____)(=s F 。

45. 已知信号]2010[][][--=n n n f δδ，则][n f 的ZT 变换_____)(=z F 。

46. [])cos()cos(4332n n n x ππ+=的基波周期_____=N 。

47. []nj n j een x ππ5235+=的基波周期是_____=N 。

48. 已知0}Re{),()(σ>−→←s s F t f L ，则根据拉普拉斯变换的指数加权性质，信号)(t f e t λ-的拉普拉斯变换是_____。

49. 若已知0}Re{),()(σ>−→←s s F t f L ，则根据拉普拉斯变换的展缩特性，信号)(at f 的拉普拉斯变换是_____。

50. 已知信号)(t f 的傅里叶变换为)2()2()(-++=ωδωδωj F ,则信号_____)(=t f 。

四、作图题51. 连续时间信号()t f 如图所示，请画出下列各信号并给以标注。

（1）)1()(21-=tf t y ，（2）2()(21)y t f t =+图52. 连续时间信号()t f 如图所示，请画出下列各信号并给以标注。

（1）12()(+1)ty t f =，（2）2()(2-1)y t f t =图53. 连续时间信号()t f 如图所示，请画出下列各信号并给以标注。

（1）12()(1)ty t f =-+，（2）2()(21)y t f t =-+图54. 连续时间信号()t f 如图所示，请画出下列各信号并给以标注。

（1）12()(-1)ty t f =-，（2）2()(2-1)y t f t =-图55. 连续时间信号()t f 如图所示，请画出下列各信号并给以标注。

（1）()()12()()f t f t ey t f t +-==，（2）2()()()y t f t u t =图56. 已知一线性时不变系统，它对图(a)所示输入)(0t f 的响应是图(b)所示的)(0t y 。