B 1D 1A DC 1BCA 1线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 ( )(A). 46(B).36 (C).62(D).633.平面α与直线a 所成的角为3π,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ．二、典型例题例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平AC BDBPC D A CB面图形.作法有:①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F 为棱BB1上一点,BF ∶FB1=2∶1, BF=BC=a 2. (1)若D 为BC 的中点,E 为线段AD 上不同于A 、D 的任意一点,证明：EF ⊥FC1; (2)试问:若AB=a 2,在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB1C1C 成60ο角,为什么?证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。

求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜A DC 1D 1A 1B 1C BA 1CB AB 1D C 1E F线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。

若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。

作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。

若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD．(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．解：(1)连AC，∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．(2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，∵AC1⊥平面A1BD ．∴ME ⊥平面A1BD ．连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A1BD 成的角．在Rt MEB ∆中，1322AC ME a ==，22262BE a a a ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴2tan 2ME MBE BE ∠==．例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转， 使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．设1BC =，则32CE =，12DE =，132cos 3DE CED CE ∠===．例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ．(1)求证：1BE EB =；(2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1．取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．∵BE∥侧面AC 1，∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG．∴BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC．解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结A1D．∵∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝60°，∴∠DA1C1＝∠DA1B1＋∠B1A1C1＝90°，即DA1⊥A1C1．∵CC1⊥面A1C1B1，由三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．且∠A1C1C＝90°．∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，∴∠CA1C1＝45°，即所求二面角为45°．说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：1．已知平面 的一条斜线a 与平面 成 角，直线b ，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为（A ）A ．有最小值，有最大值2πB ．无最小值，有最大值2π。

C ．有最小值 ，无最大值D ．有最小值 ，有最大值 。

2．下列命题中正确的是（D ）A ．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B ．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C ．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D ．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个 3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A ）A ．30B ．20C ．15D ．124．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是（C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan6．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.（Ⅰ）求证：AB ⊥CD ； （Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.7．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值．解 过A ，E 分别作AH ⊥面BCD ，EO ⊥面BCD ，H ，O 为垂足， ∴AH2OE ，AH ，OE 确定平面AHD ，连结OC ，∠ECO 即为所求．∵AB=AC=AD ，∴HB=HC=HD ∵△BCD 是正三角形，∴H 是△BCD 的中心， 连结DH 并延长交BC 于F ，F 为BC 的中点，223333DH DF a a ==⨯=，在Rt △ADH 中，8．在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．求证：（1）EF ⊥DC ；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．证明 如图1-83．（1）∵AD ⊥面ABC ．∴AD ⊥BC ．又∵∠ABC ＝90°．∴BC ⊥AB ．∴BC ⊥面DAB ．∴DB 是DC 在面ABD 内的射影．∵AF ⊥DB ．∴AF ⊥CD （三垂线定理）．∵AE ⊥CD ．∴CD ⊥平面AEF ．∴CD ⊥EF ． （2）∵CD ⊥AE ，CD ⊥EF ．∴CD ⊥面AEF ．∵CD 面BCD ．∴面AEF ⊥面BCD ．（3）由EF ⊥CD ，AE ⊥CD ∴∠AEF 为二面角B-DC-A 的平面又∵AF ⊥DB ，AF ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ∴AF ⊥平面DBC ，二面角题目：如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A --的平面角为θ，求证：cos S S '⋅=2．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=o，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD B --的大小。

D CBPADC FHBAEED'B'C'A'ODA CB例3．设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O，1,AC BC CD ===求（1）AC 与平面BCD 所成角的大小； （2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 所成角的大小。

例4.在正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为AA '的中点，求截面DMB '与底面ABCD 所成较小的二面角的大小。

选用：如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=I ，求：（1）AO 与A C ''所成角；（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠ ∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理） 在Rt AOC ∆中，2OC AC == ∴30OAC ∠=o（2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角在Rt OAE ∆中，1,22OE AE ===∴tan 5OE OAE AE ∠==（3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90o二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。