专题01 空间几何体专题本重点包括柱、锥、台、球的概念、性质、表面积与体积，直观图与三视图，这些是立体几何的基础，也是研究空间问题的基本载体，所以是高考考查的热点。

知识框架1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积和体积一、考查形式与特点1、本章内容多以客观题出现，考查基本知识，对空间几何体的特征与性质的理解，三视图和直观图，几何体表面积与体积的计算等。

三视图考查特点：一是给出空间图形，选择其三视图；二是已知其中两种三视图，画出另外一种视图；三是三视图与面积体积计算结合在一起考查。

2、球体在近几年的高考中出现频率较高，特别是棱柱、棱锥中球的内切、外接问题，在复习时更要注意多练习相关的题目。

对球中的体积、表面积、球面距离等问题也要进行重点掌握。

3、培养与发展考生的空间想象能力、推理证明能力、运用图形语言进行交流的能力。

考查空间想象能力及空间模型的构造能力。

二、方法策略1、“化整为零”是本章的基本思想。

将一个复杂的几何体分割成若干个常见的熟悉的几何体，或者把几个简单的几何体组合成一个新的几何体，目的在于化繁为简，寻求解题的捷径。

立体几何和平面几何有着密切的联系，空间图形的局部性往往可以透过平面图形的性质去研究，利用截面可以把锥体中的元素关系转化为三角形中的元素关系。

2、“以直代曲”的思想方法即通过空间图形的展开将立体几何问题转化为平面几何问题，曲面问题转化为平面问题，如在推导圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式时，就是将其侧面展开，转化为长方形、扇形、圆环来解决。

3、三视图之间的投影规律为：正、俯视图――长对正；正、侧视图――高平齐；俯、侧视图――宽相等。

三视图是新增内容，是高考考查重点，它能极大培养学生的空间想象能力与感知能力，熟悉常见简单几何体三视图在数量上的关系，善于将三视图中的数量关系与原几何体的数量关系联系起来，进行相关的计算。

4、球的表面积与体积的计算的关键是求出球的半径，然后再利用表面积公式及体积公式求解.球的表面积与体积问题常置于多面体的组合体中，解答时要充分利用切、接点正确作出过球心截面，从而使空间问题转化为平面问题，再利用球的半径与多面体的元素的关系求解.特别要注意的题型是球与长方体、正方体的组合体.5、解决问题的重要手段：截、展、拆、拼（1）“截”是指截面，平行于柱、锥、台底面的截面，旋转体的轴截面是帮助我们解题的有力“工具”。

（2）“展”指的是侧面或某些面的展开图。

（3）“拆”指的是将一个几何体拆成几个几何体，比如，探求三棱锥的体积公式还有一种方法是将一个三棱柱拆成三个等体积的三棱锥。

（4）“拼”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中去，比如，求三棱锥体积公式，既可用上面“拆”的方法，也可用“拼”的方法。

三．复习指导1、在正棱锥、台体中，要利用直角三角形（高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形、高、侧棱于底面外接圆的半径组成一个直角三角形，底面的边心距、外接圆半径及底边一半组成一个直角三角形，侧棱、斜高与底面一半组成一个直角三角形），进行有关计算。

2、解与直观图有关的问题时，应熟练掌握斜二侧画法的规则，关键是确定直观图的顶点或其他关键点，因此，尽量把定点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。

3、求柱、锥、台的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化为平面几何知识求出高。

4、在复习中应注意对简单组合体的概念、性质以及面积、体积公式的理解和运用，在面积与体积的计算中，应以棱锥和不规则几何体的表面积、体积计算为主，注意分割与补体等思想方法的灵活运用，5、加强数学思想方法的训练。

转化、化归思想贯穿立体几何始终，是处理立体几何问题的基本数学思想，在复习中考生应注意培养化归、转化意识，掌握常见的化归、转化方法。

如：等积转化，立体几何问题向平面问题转化等，复习本章时还要注意加强阅读能力、理解能力的训练。

另外还要注意识图、理解图、应用图的能力的长期培养，做题时多画、多看、多想，在训练中，还应变换图形的位置角度，克服“标准图”带来的思维定势，真正树立空间观念。

典例剖析1.三视图与直观图例1、已知某线段的正视图、俯视图、侧视图对应线段长度分别为2，4，4，试求此线段的长度。

【分析】能正确画出对应线段的三视图是解决此题的关键。

【点评】能够把三视图的投影面移到对应的空间几何体上是画三视图的一种有效方法。

例2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）Aπ334 B π63 Cπ21D π33 【答案】B【点评】本题考查了三视图的知识，解决本题的关键是由三视图明确是怎样的一个几何体，同时要熟记圆锥的体积公式。

2.几何体表面积、体积的计算例3三棱柱111C B A ABC -中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面11C EB 将三棱柱分成体积为21,V V 的两部分，那么21:V V ＝________.【答案】7：5【解析】设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ， 则Sh V V V =+=21，因为E 、F 分别为AB 、AC 的中点， 所以Sh S S S S h V S S AEF 127)4141(31,411=⋅++=∆＝，Sh V Sh V 12512=-=，所以21:V V ＝7：5. 【点评】解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系，最后用统一的量建立比值得到结论即可.例4.如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为（ ） （ ） A ．29cm B ．30cm C ．32cm D ．48cm【分析】求解本题抓住解题关键：无论如何放置，水的体积是不变的。

根据这点结合体积公式就可以求解。

【答案】A3.考查空间几何体与线、面关系得交汇例5：两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”． （1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE 与CF 所成的角；（2）问此正子体的体积V 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围．【解题思路】求异面直线所成角一般通过平移转化为平面角解决，或利用向量法也是求解这类问题的重要方法，可以使问题转化为代数运算解决。

第二问通过设出边长，可以列出关于体积的目标函数，最终转化为二次函数来解决。

21)21(2)1(2222+-=-+=x x x AD 故]1,21[2∈=AD S ABCD]31,61[3122131231∈=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ABCD ABCD ABCD S S h S V【点评】本题考查了组合问题，这类问题一般涉及两类几何体组合在一起，由于组合体能考查学生更多的几何体知识，能够更好考查空间想象能力，符合大纲能力要求的“空间考查能力”，组合体已成为近几年高考命题的新热点。

需要抓住组合体之间的联系，把空间问题转化为平面问题解决是处理空间几何问题常见的方法。

【创新题求解方法】一.公式法例1（2018•新课标Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．122πB．12π C．82πD．10π【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．【答案】B【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，解决本题的关键是求得圆柱的底面半径和高。

再利用公式求得表面积。

二.等体积法等积变换法：①相同的几何体的体积相等：同一个几何体可以用不同的面做底（注意：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面）；液状物体的形状改变体积不变（比如：水在容器中形状可以多变），②等底面积等高的两个同类几何体的体积相等，体积相等的两个几何体叫做等积体。

例2（2018•南京建邺区一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D﹣A1BC的体积是．【分析】由已知可得三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为正三棱柱，分别求出三角形BCD 的面积及A 1 到平面BCC 1B 1的距离，再由等积法得答案．【答案】233【解析】如图，由题意可知，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为正三棱柱． 如图，D 为棱B 1C 1上任意一点，则1222,2BCD S =⨯⨯=V ． A 1 到平面BCC 1B 1 的距离d=3．∴11123233D A BC A BCD V V --==⨯⨯=． 故答案为：23． 【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查利用等积法求多面体的体积，本题就是根据变换底面和高来证明相关的等量关系的.在三棱锥中，用换底面（同时也换高）的方法，常常能把复杂问题简单化、直观化. 三割补法例3（2018•安徽模拟）如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD 是矩形，ABFE 和CDEF 都是等腰梯形，且AD ⊥平面CDEF ，现测得AB=20cm ，AD=15cm ，EF=30cm ，AB 与EF 间的距离为25cm ，则几何体EF ﹣ABCD 的体积为 cm 3．【分析】所求几何体是非规则几何体，把几何体的体积分解为三棱锥A ﹣DCE ，A ﹣EFC 与B ﹣AFC 的体积，然后利用等积法求解．【答案】3500∴几何体EF﹣ABCD的体积为V EF﹣ABCD=V A﹣DCE+V A﹣EFC+V B﹣AFC=1000+1500+1000=3500cm3．故答案为：3500．【点评】本题考查利用等积法求多面体的体积，考查割补法在求解不规则几何体中的巧妙运用。

四构造法例4如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A．327B6C6D6【答案】C【点评】通过构造长方体或正方体，使得分散问题集中在一个特殊的空间几何体中，使得所求问题直观化、简单化。

【创新测试题】 一．选择题1．将边长是2的正方形以其一边所在直线为旋转轴绕转一周，所得几何体的侧面积（ ）. A. 2π B. 8π C. 4π D. 6π 【答案】B【解析】边长是2的正方形，绕其一边旋转一周得到的几何体是圆柱，则所得几何体的侧面积是2228.ππ⨯⨯=2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（ ） A.316π B. 332πC. π16D. π24 【答案】B【解析】一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2；那么这个球的体积为：=⨯3234π332π。