dy dz
dx
两面的力为:
dydz
x方向的伸长为: dx
当应力有一个增量d 时,
d 1
x方向伸长的增量为: ddx
则元功为:
dydz ddx
力所作的功为: dW 0 1dydzddx
dy
拉伸曲线
dz dx
1 d
则力所作的功为:
dW 0 1dydzddx
01ddV
(01d)dV
d
所以: dUdW(01d)dV
1
比能:
u dU dV
01 d
当应力小于比例极限时
u 1
2
比能:
u
dU dV
01
当应力小于比例极限时
d
u
1
由胡克定律 E
2
u 1 E 2 或: u 2
2
2E
由比能求应变能
应力分布均匀时 UuV
应力分布不均匀时 U udV V
应力分布均匀时
UuV2 E 2V2 NE 2A A2l2N E2A l
§2. 8 轴向拉伸或压缩时的变形
直杆轴向拉压时变形的特点
1. 轴向变形
轴向变形量
l l1l
下面建立变形与力之间的关系
应变
l
l
1. 轴向变形 轴向变形量
l l1l
应变 l
应力 N
l
A
应力-应变关系 E
N E l
A
l
l Nl Pl EA EA
胡克定律的 另一种形式
EA 抗拉(或抗压)刚度 注意：上式只在应力不超过比例极限时成立。
n
推广到多杆系统 U
Ni2li
i1 2Ei Ai
由能量守恒原理 UW 1 Pl 2
有
1 Pl n Ni2li
2
i1 2Ei Ai
例 3 (书例2. 9)
已知: BD杆外径90mm，壁 厚2.5mm，杆长l=3m。E = 210 GPa。BC是两条钢索， 每根截面积172 mm2，E1= 177GPa。P = 30kN , 不考虑 立柱变形。 求: B点垂直位移。
解：(1) 求轴力
取B点 N1 45(kN()拉) N2 75(kN()压)
(2) 计算应力
BC杆面积 A13114 06m2 BD杆面积 查型钢表(p.414)得 A 210.82 14 0 6m 2
(2) 计算应力
BC杆面积 A13114 06m2
BD杆面积 查型钢表得(p. 414)
应力 A 210.82 14 0 6m 2
0.731203m
(4) 计算B点位移
确定变形后B点的位置B3 B点水平位移
BB1 l10.861 03m
(4) 计算B点位移
确定变形后B点的位置B3 B点水平位移
BB1 l10.861 03m
B点垂直位移
B1B3 B1B4 B4B3
BB2sinB2B4cot l2s in(BB 2cos BB1) cot l2sin (l2cosl1) cot
上式也可写成：
几种常用材料的E和的约值(表2. 2)
3. 变截面杆的轴向变形
取一微段， 微段的伸长
d(l) N ( x ) d x EA ( x )
积分得：
l
l
N(x)dx EA(x)
例 1 变截面杆
已知： BD段A1=2cm2, AD段 A2=4cm2, P1=5kN, P2=10kN, E=120GPa 。 图中尺寸为cm。
sin4/5, cos3/5, cot3/4
B1B3 1.56103m BB3 1.78103m
§2. 9 轴向拉伸或压缩的变形能
1 变形能 弹性体在外力作用下，因变形而储存
的能量称为变形能（或应变能）。
力的功 力的元功
P 拉伸曲线
dP
l
dWPd (l)
力的总功
P1
W0l1 Pd(l)
当应力小于 P
lCD
N2l2 EA2
1205110903401.504 0.521 04(m)
lAC
N3l3 EA3
51030.5 1201094104
0.52104(m)
(2) 求变形
lBD
N1l1 EA1
1205110903201.504 1.051 04(m)
lCD
N2l2 EA2
51030.5 1201094104
推广: (1) 阶梯轴
l Nili Ei Ai
(2) 变截面轴
l
l
N(x) EA(x)
dx
l1
l2
l3
A1
A2
A3
x
N(x)+dN(x)
N(X)
N(X)
q
l
q
dx N(X)
N(x)
P
P
2. 横向变形 横向变形量
bb1b
横向应变
b
试验证明
b
当应力不超过比例极限时，有：
泊松比或横向变形系数。
0.521 04(m)
lAC
N3l3 EA3
51030.5 1201094104
0.52104(m)
AB杆的变形
lAB lB D lC D lAC 1.051 04(m)
例 2 (书例2. 7) 已知： BC杆: d=20mm, BD杆: 8号槽钢。[]= 160 MPa, E=200GPa, P=60kN。 求：校核强度及B点位移。
1.9 4 310 3P4.48103m N1
N2 P
§2. 10 拉伸、压缩静不定问题
关于静不定的基本概念
静定问题 —— 未知力（内力或外力）个 数等于独立的平衡方程数;
比例极限时 W 1 Pl 2
l
P
l d(l) l l1
力的总功
W0l1 Pd(l)
当应力小于 比例极限时
P1
dP
P 拉伸曲线
P
W 1 Pl 2
l
l d(l) l
P 变形能
l
l1
由能量守恒原理 UW 1 Pl 2
2 比能(应变能密度)
拉伸曲线
1 d
单位体积内的变形能。
取一单元体：
单元体上下
求：AB杆的变形。
N1
解：(1) 求轴力
BD段 N1 5(kN)N2
CD段 N2 5(kN)
AC段 N3 5(kN)
N3
(1) 求轴力
BD段 N1 5(kN) CD段 N2 5(kN) AC段 N3 5(kN)
(2) 求变形
lBDBiblioteka N1l1 EA151030.5 1201092104
1.051 04(m)
解：解三角形得 BC=l1=2.20m, CD=1.55m BC、BD的截面积分别为
A1＝344mm2, 取B点，受力如图：
A=687mm2
取B点，受力如图：
N11.41P, N21.93P
外力P所作的功等于BC及BD 杆的变形能，所以
P
W 1 P
N
2 1
l
1
N
2 2
l
2
2 E 1 A1 2 EA
1
N1 A1
143MPa
[]16M 0 Pa
2
N2 A2
73.2MPa[]16M 0 Pa
(3) 计算杆的变形
BC杆变形
l1 BB1
N 1l1 EA 1
0.86103m
(3) 计算杆的变形
BC杆变形
l1 BB1
N 1l1 0.861 03m EA 1
BD杆变形 l2DB2m
l2 BB2
N 2l2 EA 2