电磁场数学方法第一章 场论1 方向导数定义：方向导数是在一个点M 处沿方向l 的函数()u M 当0ul∂>∂时，函数u 沿l r 方向增加。

当0ul∂<∂时，函数u 沿l r 方向减少。

定理1. 函数(,,)u u x y z =在点0000(,,)M x y z 处可微；cos α，cos βcos γ为l 方向的方向余弦，则函数u 在点0M 处沿l 且由如下公式给出：cos cos cos u u u ul x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 其中,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂是在点0M 处的偏导数。

2 梯度方向导数解决了函数()u M 在给定点处沿某个方向的变化率问题。

梯度则解决了函数()u M 在给定点处沿哪个方向的变化率最大的问题。

考察方向导数公式：cos cos cos ||cos(,)u u u uG l G G l l x y zαβγ∂∂∂∂=++=⋅=∂∂∂∂r r r r r 式中u u u G i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂r r r r ，cos cos cos l i j k αβγ=++r r r r。

梯度的定义：若在数量场()u M 中的一点M 处，存在这样一个矢量G r，其方向为函数()u M 在M 点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量G ϖ为函数()u M 在点M 处的梯度，记作grad u ，即：()u u u grad u G i j k x y z∂∂∂==++∂∂∂rr r r3 矢量场的通量及散度 通量通量的定义：设有矢量场()A M r ，沿有向曲面S 某一侧的曲面积分n ssA ds A dsΦ==⋅⎰⎰⎰⎰r r称为该矢量穿过曲面S 的通量。

散度的定义：lim lim s M M A dsdivA V v∆∆Ω->∆Ω->⋅∆Φ==∆∆⎰⎰r r r Ò。

物理意义：散度表示场中一点处通量对体积的变化率。

计算公式：在直角坐标系中，矢量场(,,)(,,)(,,)A P x y z i Q x y z j R x y z k =++r r r r在任一点(,,)M x y z 处的散度为P Q RdivA x y z∂∂∂=++∂∂∂r 4 矢量场的环量及旋度 环量环量的定义：设有矢量场()A M r，则沿场中某一封闭的有向曲线l 的曲线积分lA dl Γ=⋅⎰r r Ñ叫做此矢量场按积分所取方向沿曲线l 的环量。

旋度旋度的定义：若在矢量场A r 中的一点M 处存在这样的一个矢量R r，矢量场A r 在点M 处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是||R r ，则称矢量R r为矢量场A r 在点M 处的旋度，记作rotA r ，即rotA R =r r。

物理意义：旋度矢量在数值和方向上表示了最大的环量面密度。

其在任一方向的投影就等于该方向上的环量面密度。

计算公式：在直角坐标系中旋度表示为：()()()y z z x x y rotA R R Q i P R j Q P k ==-+-+-r r r r r 或ij k rotA R x y z P Q R∂∂∂==∂∂∂r rr r r 5 几种重要的矢量场 有势场定义：设有矢量场()A M r ，若存在单值函数()u M 满足()A grad u =r，则称此矢量场为有势场；令v u =-，并称v 为这个场的势函数。

矢量()A grad v =-r。

有势场，无旋场，保守场是等价的。

管形场定义：设有矢量场()A M r ，若其散度0divA ≡r，则称此矢量场为管形场，也称无源场。

为何将其称为管形场？定义：如果在矢量场A r中恒有0divA =r 与0rotA =r r ，则称此矢量场为调和场，即既无源又无旋的矢量场。

第二章、数学建模－数学物理定解问题1、数学物理方程的导出数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来，与定解条件无关。

而物理规律反映的是某个物理量在邻近地点和邻近时刻之间的联系，因此数学物理方程的导出步骤为：(1) 首先确定所研究的物理量u ；(2) 从所研究系统中选定微元，根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要影响，忽略次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量u ； (3) 用算式表达这种相互影响，经简化整理就是数学物理方程。

波动方程20tt xx u a u -= 2(,)tt xx u a u f x t -=输运方程220t u a u -∇= 22(,,;)t u a u f x y z t -∇=恒定场方程2u ρε∇=-——的泊松方程 20u ∇=——拉普拉斯方程2、定解条件定解条件包括初始条件、边界条件，还有衔接条件。

有时衔接条件也称为边界条件，只是与下面我们介绍的三类边界条件有些差别而已。

初始条件所谓的初始条件某个物理量在“初始”时刻的状态，而这个“初始”时刻也是相对的。

从数学角度看，对泛定方程中出现一阶导数t u ，方程为一阶微分方程，只需要初始条件，比如输运方程；而对泛定方程中出现二阶导数tt u ，方程为二阶微分方程，需要两个初始条件。

边界条件第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；);,,();,,(0001),,(),,(000t z y x f t z y x u z y xz y x ==第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；0002000(,,)(,,)(,,;)(,,;)x y z x y z u x y z t f x y z t n =∂=∂第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。

);,,()(0003),,(),,(000t z y x f Hu u z y xz y x n =+=式中);,,(0001t z y x f 、);,,(0002t z y x f 和);,,(0003t z y x f 为已知函数，H 为常数系数。

衔接条件电场强度和电位的边界条件：静电场中不同电介质分界面上，电场强度的切向分量和电位移的法向分量均必然连续(分界面上无源)⎪⎩⎪⎨⎧∂∂=∂∂=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==nu n u u u E E E E D D E E n n t t n n t t 2211212211212121 εεεε 式中t E 1、n E 1和t E 2和n E 2分别为介质1和介质2的切向和法向电场强度，为1u 和2u 分别为介质1和介质2的电位，1ε和2ε分别为介质1和介质2的介电常数。

定解问题的提法定解条件：初始条件和边界条件(包括衔接条件)；定解问题：泛定方程(偏微分方程)和相应的定解条件结合在一起为定解问题； 初值问题：又称柯西问题，只有初始条件，没有边界条件的定解问题为初值问题； 边值问题：只有边界条件，没有初始条件称为边值问题； 混合问题：既有初始条件，又有边界条件，称为混合问题。

定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。

3、数学物理方程的分类 两个自变量的方程的分类两个自变量的偏微分方程为022*******=++++++f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx 式中c b b a a a ，，，，，21221211和f 只是x 和y 的函数，且假设为实数。

作自变量的代换⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==)()( ),(),(x,y x,y y y x x ηηξξηξηξ 根据特征方程解的根号下符号划分偏微分方程的类型椭圆型抛物型双曲型 0 0 0221121222112122211212<-=->-a a a a a a a a a4、达朗贝尔公式泛定方程2000()()()tt xx t t t u a u u x x u x ϕψ==-=⎧=⎪-∞<<∞⎨=⎪⎩该方程的解为达朗贝尔公式⎰+-+-++=-++=atx atx d aat x at x at x f at x f t x u ττψϕϕ)(21)]()([21)()(),(21第三章、分离变量(傅立叶级数)法基本思想：把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。

本征函数：本征函数为三角函数，后面会用到本征函数为贝塞尔函数等特殊函数。

1、齐次方程的分离变量法2、非齐次泛定方程此时讨论和研究非齐次泛定方程只考虑泛定方程为非齐次，而边界条件为齐次的，初始条件数值也为零。

如果初始条件数值不是零，那么可以令w v u +=，使得下式成立2000(,)00()()tt xx x x l t t t u a u f x t u u u x u x ϕψ====-=⎧=⎪⎨=⎪⎩⎧=⎪⎨=⎪⎩ = 200000()()tt xx x x l t t t v a v v v v x v x ϕψ====-=⎧=⎪⎨=⎪⎩⎧=⎪⎨=⎪⎩ + 2000(,)000tt xx x x l t t t w a w f x t w w w w ====-=⎧=⎪⎨=⎪⎩⎧=⎪⎨=⎪⎩傅立叶级数法非齐次泛定方程的定解问题也可以傅立叶级数求解，也即把所求的解展开为傅立叶级数∑=nn n x X t T t x u )()(),(式中傅立叶级数的基本函数族)(x X n 为该定解问题齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数。

冲量定理法冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用力引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加。

格林函数法 特解法3、齐次泛定方程和非齐次边界条件的处理第四章、二阶常微分方程级数解法-本征值问题1、特殊函数常微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程的一般形式为02=∇u 。

(1) 球坐标系222222221110 sin 0sin sin u u uu r r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=⇒++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 211(1)0 ()ll d dR r l l R R r Cr D dr dr r +⎛⎫-+=⇒=+ ⎪⎝⎭ 2220 ()cos sin (0,1,2,)d A m B m m m d λϕϕϕλϕΦ+Φ=⇒Φ=+==L 22cos 2221sin [(1)]0(1)[(1)]0sin sin 1x d d m d d m l l x l l d d dx dx x θθθθθθ=ΘΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ=-++-Θ= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⇒ 若极轴为对称轴，则0=m ，那么连带勒让德方程变成0)1(2)1(222=Θ++Θ-Θ-l l dxd xdx d x(2) 柱坐标系222222110 0u u uu zρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇=⇒++=⇒ ⎪∂∂∂∂⎝⎭2222222220 ()cos sin (0,1,2,)00 () 01(1)0 1()0A m B m m m DeZ Z Z z C D d R dR m R d R dR m dx x dx xR d d λϕϕϕλμμμμρρρρ''Φ+Φ=⇒Φ=+==⎧+>⎪''-=⇒=⎨+<⎪⎩++-=++-=⇒L 2222 0 1(1)0 0d R dR m R dx x dxx μμ⎧>⎪⎪⎨⎪+-+=>⎪⎩ 波动方程三维波动方程为22222200tt T k a T u a u v k v ''⎧+=⎪-∇=⇒⎨∇+=⎪⎩输运方程三维输运方程为22222200t T k a T u a u v k v '⎧+=⎪-∇=⇒⎨∇+=⎪⎩亥姆霍兹方程(1) 球坐标系22222222221110sin 0sin sin v v vv k v r k v r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇+=⇒+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2222222122[(1)]0 [()]0x kr R r x d dR d y dy r k r l l R x x x l y dr dr dx dx =⎛⎫+-+=++-+= ⎪⎝⎭2220 ()cos sin (0,1,2,)d A m B m m m d λϕϕϕλϕΦ+Φ=⇒Φ=+==L 22cos 2221sin [(1)]0(1)[(1)]0sin sin 1x d d m d d m l l x l l d d dx dx x θθθθθθ=ΘΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ=-++-Θ= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⇒(2) 柱坐标系222222221100v v vv k v k v zρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇+=⇒+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭22||||222222, 2222220 ()cos sin 00 cos sin 0110 1v z v z kx A m B m Ce De Z Z C vz D vz d R dR d R dR m k R d d dx x dx x μνλϕϕϕνννλνρρρρ-=-''Φ+Φ=Φ=+⎧+<⎪''+=⎨+>⎪⎩⎛⎫⎛⎫++--=++- ⎪⎝⎭⎝⎭⇒0R =⎪4.2、常点邻域上的级数解法常微分形式：线性二阶常微分方程100022)( )(0)()(C z w C z w w z q dz dwz p dzwd ='==++ 式中z 为复变函数，0z 为选定的点，0C 、1C 为复常数。