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1.1.1 矢量及其表示方法
➢ 矢量：表示既有大小也有方向的量，如 F或 F
➢ 标量：只有大小的量，如 f、 g
➢
矢量几何图示如右： F
➢ 矢量代数：矢量间的四则运算，即加减法、乘法。
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1.1.1 矢量及其表示方法
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
-B
B
图1-2 两矢量相减
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1.1.2 矢量相加(代数表示)
z
直角坐标系中的矢量及运算
A exA xeyA yezA z
A
Az
Ax
y
AA Ax2Ay2Az2
Ay x
，
图 1-3 直角坐标中的A及其各分矢量
若 AexA xeyA yezA z BexB xeyB yezB z
⑴A•B=B•A
Acosθ
B
⑵(A+B)•C=A•C+B•C
⑶λ(A • B) =(λA) • B= A•(λB)
Bcos
A
⑷若A ⊥B，则A•B=0
(5)A自身的点积，即 =0°，A•A=A2
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例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ex·ey=ey·ez= ex·ez=0 ex·ex=ey·ey=ez·ez=1 直角坐标系中的点积运算
量。
♥ 负矢量——与原矢量大小相等，方向相反的矢量。
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1.1.2 矢量相加(几何表示 )
两矢量A和B相加定义为一个新矢量A+B
B A+B A
A+B B
A
，
( a ) 平行四边形法则
( b ) 首尾相接法则
图1-1两矢量相加
A和B相减为新矢量A B
A-B A
交换律 A+B = B+A 结合律 A±B±C=A±(B±C)=(A±B) ±C
♥ 两个矢量的矢量积（叉积）的模等 于这两个矢量的模以及这两个矢量 之间夹角的正弦三者的乘积，而方 向垂直于两矢量所构成的平面，其 指向按“右手法则”来确定。
（1.1.26）
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1.1.3矢量的乘积运算
1.矢量的标 量积 dot product/scalar
proAd•uB=cAtBcosθ
则
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z B z )
A B (A x B x )2 (A y B y )2 (A z B z)2
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1.1.2 矢量相加(代数表示)
♥ 矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。
密度等。
场是一个以空间位置(x,y,z)和时间(t)为自 变量的函数。 在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢
量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等。
标量场——描绘场的函数为标量函数φ= φ(x,y,z,t)
矢量场——描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t )
稳恒场——不随时间变化的场 φ(x,y,z), A(x,y,z )
1-1 电磁场与矢量代数
1.1.1矢量及其表示方法 1.1.2矢量相加(叠加) 1.1.3矢量的乘积运算
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Байду номын сангаас
1-1 电磁场与矢量代数
场的概念: 只有大小而没有方向的量。如电压、 电荷量、电流、面积等
在指定的时刻，空间每一点可以用一个 标量唯一地描述，则该标量函数定出标 量场。例如物理系统中的温度、压力、
➢ 矢量表示法——在三维空间中，矢量可表示为一根有方向 的线段。该线段的长度 代表该矢量的模，该线段的方
z
， 向 代表该矢量的方向。
♥ 单位矢量——模等于1的矢量叫做单位矢量。 x
A
O
y
（1.1.1）
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♥ 在直角坐标系中矢量的表示
♥ 例如：
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♥ 一个矢量经平移后所得到的新矢量与原矢量相等。 ♥ 在直角坐标系下，两个相等的矢量必有相等的坐标分
章
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第一章 电磁场的数学、物理基础知识
1-1 电磁场与矢量代数 1-2 正交曲面坐标系 1-3 标量场及其梯度 1-4 矢量场的通量、散度与高斯散度定理 1-5 矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理 1-6 亥姆赫兹定理 1-7 电磁场麦克斯韦方程组 1-8 矢量场惟一性定理
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A • B ( e x A x e y A y e z A z ) • ( e x B x e y B y e z B z ) 由单位矢量的正交性 得 A •B A xB xA yB yA zB z
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2.矢量的矢量积 cross product
C= A×B=ABsinθec
均匀场——不随空间变化的场 φ(t) , A(t )
具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量。磁场 强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
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1.1.1 矢量及其表示方法
矢量的定义与表示： 几何表示：有向线段 代数表示：基于坐标系的参数表示 矢量的代数运算(四则运算)： 几何方法及其意义 代数方法及其运算规则(与坐标系相关)
eCeAeB
ec为垂直于A、B平面的单位矢量，A、 B、C服从右C手螺旋法则。
C＝A×B
an O aB
B
aA
B
A
A
(a)
(b)
(a) 矢量积的图示； (b) 右手螺旋
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矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零 的矢量的叉积等于零， 则这两个矢量必然相互平行， 或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。 矢量 的叉积不服从交换律， 但服从分配律， 即
A×B=-B×A A×(B+C)=A×B+A×C
A、B相平行（ = 0或180˚)时，A B=0，反之亦然； A自身的叉积为零，A A=0。
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直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：
ex×ey=ez ey×ez=ex, ez×ex=ey
矢量乘法
标量ƒ与矢量A的乘积用ƒA表示，它是A的ƒ倍。
ƒA
(ƒ >0)
若 AexA xeyA yezA z
则 fAexfA xeyfA yezfA z
A
ƒA (ƒ <0)
图1-4 f 与A 相乘
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1.1.3矢量的乘积运算
♥ 两个矢量的标量积（点积）定义为这 两个矢量的模以及这两个矢量 之间 夹角的余弦三者的乘积。