例题1
图示有一水电站压力水管的渐变段，直径 D1为1.5米， D2 为1米，渐变段起点压强 p1 为 400KN / m2 （相对压强）， 3 流量Q为 1.8m /s ，若不计水头损失，求渐变段镇墩上 所受的轴向推力为多少（不计摩擦力）？
F
x
Q(2v2 1v1 )
解题步骤
解：求管中流速
1 d1 =0.15m d 3=
3 m 5 7 0.0 30 5o
o
v3
3 y x 2 0 2 v2
力：
A.计算主管流速v1， B. 流量Q1和压强pl
v1
1
d2=
0.1 m
1 Q2 v2 10 3.14 0.12 0.0785m3 /s 4 4 d32 1 Q3 v3 10 3.14 0.0752 0.0442m3 /s 4 4
F a02 Q v2 a01Q v1
在直角坐标系中的分量式为：
（3-13-3）
Fx a02 Q v2 x a01Q v1 x Fy a02 Q v2 y a01Q v1 y Fz a02 Q v2 z a01Q v1z
工程计算中取a0=1。动量方程式改写为：
F d m v a02 2Q2 v2 a011Q1 v1
这就是恒定流动量方程式。
6
F a02 2Q2 v2 a011Q1 v1
3.适用条件：恒定流
（3-13-2）
3
F dt 2Q2 v2 dt 1Q1 v1 dt
m F 2Q2 v2 1Q1 v1 dt
2.公式说明：
将物质系统的动量定理应用于流体时，动量定理的表 述形式是：对于恒定流动，所取流体段（简称流段，它 是由流体构成的）的动量在单位时间内的变化，等于单 位时间内流出该流段所占空间的流体动量与流进的流体 动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之 和，即外力之和。
液体恒定总流的动量方程的三个投影形式的代数方程
Q( 2 v2 x 1v1x ) F x Q( 2 v2 y 1v1 y ) Fy Q( 2 v2 z 1v1z ) Fz
－－－同时适用于理想液体和实际液体。
应用动量方程时需注意以下各点：
2 p1 v12 p2 v2 0 0 g 2 g g 2 g
y
2 1
F2
2 ' FRx x
F1
O
v2
' FRy
v1
1
故得
p1 p2 98kN/m
2
于是
1 1 2 p1 A1 p2 A2 p1 d1 98 3.14 202 3077N 4 4
③为求得弯管对水流的作用力，
y
2 1
F2
2 ' FRx x
则需采用动量方程。
可分别写出x与y方向上总流的 动量方程为：
O
F1
v2
' FRy
v1
1
Q(2v2 cos450 1v1 ) p1 A1 p2 A2 cos450 FR x 0 0 Q(2v2 sin 45 0) 0 p2 A2 sin 45 FR y
y
2 1
取 1 2 1 ，
将上述数据代入动量 方程中得：
O
F2
2 ' FRx x
F1
v2
' FRy
v1
1
2 2 FRx 3077 3077 1000 0.126 4 ( 1) 1049N 2 2 2 2 3077 FRy 1000 0.126 4 2532N 2 2
5
方程是以断面平均流速模型建立的，实际的流速是不均匀 分布的，以动量修正系数a0修正。 a0定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即：
a0
2 u dA A
Qv

2 u dA A
（3-13-1）
Av 2
a0取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大， a0越大，一般取a0 =1.05
由有分流情况恒定总流的连续性方程知：
Q1=Q2+Q3=0.0785+0.0442=0.1227m3/s
d 22
所以
v1
Q1
1 2 d1 4 0.1227 4 3.14 0.15 2 6.947m/s
705 312 2.285 391.715KN
即轴向推力为 391.715KN，方向与 R x 相反。
例 管路中一段水平放置的等截面弯管，直径d =200mm，弯 角为 450（如图）。管中1-1断面的平均流速 v1＝4m/s，其形 心处的相对压强 p1= 98KN/m2。若不计管流的水头损失，求 水流对弯管的作用力FRx和FRy。（坐标轴x与y如图所示）。
于是可得
x p1 A1 p2 A2 cos450 Q( 2v2 cos450 1v1 ) FR 0 0 y p2 A2 sin 45 Q 2v2 sin 45 FR
式中：
1 2 Q d v1 4 1 2 3.14 0.2 4 4 0.126m3 /s
p1
p2 2.292 400 1.022 0 0 0 9.8 2 9.8 2 9.8
p2

40.8 0.053 0.268 40.585m
p2 40.585 9.8 398KN / m2
总压力 P 1 p1A1 400 1.765 705KN
解 ① 欲求水流对弯管的作用力， 可先求得弯管对水流的反作用力。 取渐变流过水断面 1-1 和 2-2 以及管内壁所围封闭曲面内的液 体作为研究对象。
0
y 2 1
F2
2 ' FRx x
F1
O
v2
' FRy
v1
1
Q(2v2 cos45 1v1 ) p1 A1 p2 A2 cos45 FR x 0 0 Q(2v2 sin 45 0) 0 p2 A2 sin 45 FR y
P2 p2 A2 398 0.785 312KN
解题步骤
取1-1与2-2断面水体作为控制体，坐标方向如图示。 沿x轴方向取动量方程 （设 1 =2 =1)
F
x
Q(2v2 1v1 )
9.8 1.8(2.29 1.02) 9.8
P1 -P2 -R x
R x P1 -P2 -1.8 1.27
⑤ 当液流有分流或汇流的情况，可由与推导有分、汇流 时的连续性方程类似的方法，写出其动量方程。
2
1
v2
2
v1
1 (a)
3 3 v3
（a）有分流的情况
(Q2 2v2 x Q3 3v3 x Q11v1x ) Fx (Q2 2v2 y Q3 3v3 y Q11v1 y ) Fy (Q2 2v2 z Q3 3v3 z Q11v1z ) Fz
① 液体流动需是恒定流；
② 过水断面1-1和2-2应选在均匀流或者渐变流断面上，以便 于计算断面平均流速和断面上的压力；
③ ∑F是作用在被截取的液流上的全部外力之和，外力应包
括质量力（通常为重力），以及作用在断 面 上 的压力和 固体边界对液流的压力及摩擦力；
④ 在初步计算中，可取动量修正系数β=1.0；
工程计算中，通常取a01=a02=1
8
（3-13-4）
F Q v
2 2
2 2
1Q11v1
不可压缩 流体
F Q v
2 2
Q1v1
对于恒定流动，所取流体段的动量在单位时间内的 变化，等于单位内流出该流段所占空间的流体动量 与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的 表面力与质量力之和，也即外力之和。
V1 Q Q A D2 1 4
1.8 1.02m/s 3.14 1.52 4 Q 1.8 V2 2.29m/s A2 3.14 12 4 求1-1断面和2-2断面上动水总压力以管轴中心线为基准 面取1、2断面的能量方程：
（取 a1 =a2 =1)
解题步骤
2 a1v12 p2 a2v2 z1 z2 hw 2g 2g
1 1
v1
2 2
3
（b）有汇流的情况
v3
v2
(b)
3
(Q3 3v3 x Q2 2 v2 x Q11v1x ) Fx (Q3 3v3 y Q2 2 v2 y Q11v1 y ) Fy (Q3 3v3 z Q2 2 v2 z Q11v1z ) Fz
F dt d mv
F dt d mv 2Q2 dt
v 1dt

Q体积流量 Q质量流量
动量流量
2
A1
A2
2'
v2dt
F 2Q2 v2 1Q1 v1
4
F dt 2Q2 v2 dt 1Q1 v1 dt m
系统与控制体
系统：是一团确定不变的流体质点的集合。 系统外的一切称为外界。 控制体：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的 需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面
0
②作用于该段液流表面的表面力 有断面1-1和2-2上的压力，可以 用断面形心处的压强作为断面 平均压强，因而断面上的总压力 为：