把 B、D 坐标代入可得
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（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以 C，D，E，F 为顶点的四边形 CDEF 是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点 P，使四边形 CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点坐标；
若不存在，请说明理由.
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二次函数中矩形的存在性问题
6．如图所示，抛物线 y=ax2+bx﹣3 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图所示，直线 BC 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC 于点 F，求△PEF 周长的最大值； （3）已知点 M 是抛物线的顶点，点 N 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，若点 P 是抛物线上一点， 且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM 为边的正方形？若存在，直接写出 点 P 的横坐标；若不存在，说明理由．
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二次函数中矩形的存在性问题
4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线 y=x2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（a，8）、B 两点，点 P 是抛 物线上 A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 AB 交于点 C 和点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）若 C 为 AB 中点，求 PC 的长； （3）如图，以 PC，PE 为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（m，n），请求出 m，n 之间的关系式．
二次函数中矩形的存在性问题
1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程 x2﹣6x+8=0 的两个根，且 OC＞BC． （1）求直线 BD 的解析式； （2）求△OFH 的面积； （3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直 接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
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二次函数中矩形的存在性问题
参考答案
1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程 x2﹣6x+8=0 的两个根，且 OC＞BC． （1）求直线 BD 的解析式； （2）求△OFH 的面积； （3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
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二次函数中矩形的存在性问题
5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点 A(0，－3)，B（ 3, 3 ），对称轴为直线
x 1 ，点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 分别作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N，在四边形 PMON 上 2
分别截取 PC 1 MP, MD 1 OM ,OE 1 ON , NF 1 NP.
1. 分析： （1）解方程可求得 OC、BC 的长，可求得 B、D 的坐标， 利用待定系数法可求得直线 BD 的解析式； （2）可求得 E 点坐标，求出直线 OE 的解析式，联立直线 BD、OE 解析式可求得 H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积； （3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点 N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况， 分别求得 M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得 N 点坐标． 解答： 解：（1）解方程 x2﹣6x+8=0 可得 x=2 或 x=4，∵BC、OC 的长是方程 x2﹣6x+8=0 的两个根，且 OC＞BC， ∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线 BD 解析式为 y=kx+b，
y
yM
yM
Байду номын сангаас
C D
F H
EG
A O
B x
C
A O
C
A
x
O
B x
26图 图 1
26图 图 图 图 1
26图 图 图 图 2
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二次函数中矩形的存在性问题
3. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别 是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′． （1）若抛物线经过点 C、A、A′，求此抛物线的解析式； （2）点 M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多 少？并求出此时 M 的坐标； （3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为（1，0），当 P、N、B、Q 构成平行四边 形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标．
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二次函数中矩形的存在性问题
2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交与 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），
与 y 轴交于点 C. 点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴相交于点 E. （1）求直线 AD 的解析式； （2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FG⊥AD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于 点 H，求△FGH 的周长的最大值； （3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边 形是 AM 为边的矩形，若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标.