平行四边形的存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．针对训练1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)．②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)．③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2．当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．②如图2，图3，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．如图2，当x＝4时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点M的坐标为(4，－5)．如图3，当x＝－4时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点M的坐标为(－4，－21)．第2题图1 第2题图2 第2题图33．将抛物线c1：2=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图所示．y x33现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．解析、抛物线c1：2y x=-+与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)．33抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(,3)-，与x轴的两个交点为(1,0)m--、A mB m-，AB＝2．(1,0)抛物线c2在平移的过程中，与抛物线c1关于原点对称．所以四边形AMEN是平行四边形．如果以点四边形AMEN是矩形，那么AE＝MN．所以OA＝OM．而OM2＝m2＋3，所以(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1（如图）．第3题图[另解]探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB3ABM是等边三角形．同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．4．已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．解析、（1）当x ＝0时，3334y x =+=，所以点A 的坐标为(0，3)，OA ＝3． 如图1，因为MO ＝MA ，所以点M 在OA 的垂直平分线上，点M 的纵坐标为32． 将32y =代入32y x =，得x ＝1．所以点M 的坐标为3(1,)2．因此132AM =． （2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (0，3)、M 3(1,)2，所以3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得52b =-，3c =．所以二次函数的解析式为2532y x x =-+． （3）如图2，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ．在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ． 因此点C 的坐标可以表示为(4m ，3－2m )． 将点C(4m ，3－2m )代入2532y x x =-+，得23216103m m m -=-+． 解得12m =或者m ＝0（舍去）． 因此点C 的坐标为（2，2）．5．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．解析．（1）QB＝8－2t，PD＝43t．（2）当点Q的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ不可能为菱形．说理如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．已知PD//BC，当PQ//AB时，四边形PDBQ为平行四边形．所以CQ CPCB CA=，即2686t t-=．解得125t=．此时在Rt△CPQ中，245CQ=，2456sin54CQPQCPQ==⨯=∠．所以2416855BQ CB CQ=-=-=，6BD PQ==．因此BQ≠BD．所以四边形PDBQ不是菱形．如图1，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△APE中，23cos5AEAAP t===，所以103t=．当PQ//AB时，CQ CPCB CA=，即106386CQ-=．解得329CQ=．所以点Q的运动速度为3210169315÷=．第5题图1（3）以C为原点建立直角坐标系．如图2，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图3，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图4，PQ的中点M的坐标可以表示为（62t-，t）．经验证，点M（62t-，t）在直线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．第5题图2 第5题图3 第5题图4 [另解]第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|∶|OB|＝1∶5，|OB|＝|OC|，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解析（1）设OA的长为m，那么OB＝OC＝5m．由△ABC的面积S△ABC＝15，得m＝5．所以点A、B、C的坐标分别为(－1，0)、(5，0)、(0，－5)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1) (x－5)，代入点C(0，－5)，得a＝1．所以抛物线的解析式为y＝(x＋1) (x－5)＝x2－4 x－5．（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，设点E在对称轴右侧，坐标为(x，x2－4 x－5)．①如图1，当E在x轴上方时，EF＝2(x－2)，EH＝x2－4 x－5．解方程2(x－2)＝x2－4 x－5，得310x=+或310x=-（舍去）．此时正方形的边长为2210+．②如图2，当E在x轴下方时，EF＝2(x－2)，EH＝－(x2－4 x－5)．解方程2(x－2)＝－(x2－4 x－5)，得110x=-（舍去）．x=+或110此时正方形的边长为210．第6题图1 第6题图2 第6题图3（3）如图3，因为点B、C的坐标分别为(5，0)、(0，－5)，所以BC与x轴正半轴的夹角为45°．过点B作BM⊥BC，且使得BM＝72过点M作x轴的垂线，垂足为N，那么△BMN是等腰直角三角形．在Rt△BMN中，斜边BM＝72BN＝MN＝7．因此点M的坐标为(－2，7)或(12，－7)．经检验，点(－2，7)在抛物线y＝(x＋1) (x－5)上；点(12，－7)不在这条抛物线上．所以点M的坐标是(－2，7)．[另解]第（3）题也可以这样思考：设抛物线上存在点M，设点M的坐标为(x，x2－4 x－5)．由于△BMN是等腰直角三角形，BN＝MN，所以5－x＝x2－4 x－5．解得x＝－2或x＝5（与点B重合，舍去）．所以点M的坐标是(－2，7)．这种解法不需要分情况讨论点M的位置，这是因为：当M在点B的右侧时，方程为x－5＝－(x2－4 x－5)，这个方程和点M在点B的左侧时的方程是同一个方程．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过A (－1,0)、B (0,3)两点，与x 轴交于另一点C ，顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标；（2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；（3）如图2，P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标．图1 图2解析．（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，C (3,0)，顶点D (1,4)．（2）如图1，直线BD 为y ＝x ＋3，E (－3,0)．过△ABE 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点F ．① 点E (－3,0)向左平移2个单位得到点A (－1,0)，那么点B (0,3) 向左平移2个单位得到点F 1(2,3)．经验证，F 1(2,3)在抛物线上．② F 2不在抛物线上．③由B (0,3)先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点E (－3,0)，那么点A (－1,0) 先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点F 3(－4,－3)．经验证，F 3(－4,－3)不在抛物线上．（3）如图2，直线AP 的解析式为y ＝x ＋1．过点Q 作y 轴的平行线交AP 于H ．设Q (x , －x 2＋2x ＋3)，那么H (x , x ＋1)．因此S △APQ ＝S △AQH ＋S △PQH ＝211()(2)322P A QH x x x x -=-++⨯23127()228x =--+． 所以当12x =时，△APQ 的最大面积为827．此时Q )415,21(．第7题图1 第7题图28．已知抛物线2(2)y a x b =-+ (0)ab <的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C （点B 在点C 的左侧）．（1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且△ABC 为直角三角形，求a ，b 的值；（3）若D 为抛物线对称轴上一点，则以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a ，b 满足的关系式；若不能，说明理由．解析（1）抛物线对称轴是直线x ＝2． （2）点B (0,0)关于对称轴x ＝2对称的点C 为(4,0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)．当△ABC 为直角三角形时，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°．所以点A 的坐标为(2,2)或(2,－2)．①将A (2,2)代入y ＝ax (x －4)，得12a =-．于是211(4)222y x x x x =--=-+．因此2b =． ②当A (2,－2)代入y ＝ax (x －4)，得12a =．于是211(4)222y x x x x =-=-．因此2b =-．（3）如果四边形ABDC是正方形，那么A、D关于BC（x轴）对称且△ABC为等腰直角三角形．由A(2,b)，得B(2＋b,0)、C(2－b,0)．于是可得抛物线的解析式为y＝a(x－2－b)(x－2＋b)．代入A(2,b)，得b＝－ab2．所以1ab=-．9．如图，已知双曲线6yx=与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点．（1）求证四边形ACBD是平行四边形；（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？（3）如果点A的横坐标为3，点C的横坐标为m(m＞0)，四边形ACBD的面积为S，求S与m的之间的关系式．解析．（1）因为A、B关于原点O对称，C、D关于原点O对称，所以OA＝OB，OC＝OD．所以四边形ACBD是平行四边形．（2）如图1，当直线AB与直线CD关于直线y＝x对称时，OA＝OB＝OC＝OD，所以四边形ACBD可以成为矩形．因为x≠0，y≠0，所以点A、B、C、D不可能落在坐标轴上，因此直线AB与CD不可能垂直，即平行四边形ACBD的对角线不可能互相垂直，所以四边形ACBD不可能成为正方形．（3）如图2，作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，那么S△AOE＝S△COF．①如图2，当点C在点A上方时，设OA与CF交于点M，那么S四边形AEFM＝S△COM．因此S△AOC＝S梯形AEFC＝169(2)(3)2m mm m+-=-．所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC364m m=-．②如图3，当点C在点A下方时，S△AOC＝S梯形AEFC＝169 (2)(3)2m mm m+-=-．所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC364mm=-．第9题图1 第9题图2 第9题图3。