绝对值不等式绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5,没有最大值|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y| < 5 得-5 < y < 5即函数的最小值是-5 ,最大值是5也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | <g(x) = -g(x)vf(x)vg(x) 和丨f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)1 1解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X即『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 62< X<6所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}2 2I 3x I1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <1解：(1)分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3X-4①或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)②解①得：1- - 2 v X<1+ 2解②得：x>-3故原不等式解集为{ x | x>-3 }分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 |17而 x -x+2 = (x-) + . >04 4所以| x-x 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 .故原不等式等价于 x 2-x+2>x 2-3X -4 解得：x>-3•••原不等式解集为{ x>-3 }3x(2)分析不等式可转化为-1 w 二 < 1求解，但过x - 4程较繁，由于不等式| x^X 4 w 1两边均为正，所以可平方后 求解.二 9x 2w (x 2-4) 2 (x 工土 2)=x 4-17x 2+16> 0二 x 2w 1 或 x 2> 16 =-1 w x w 1 或 x > 4 或 x w -4注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) |中的f(x)的值 的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正 )，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过程 .第2变含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) | x - 1|<| x + a | ; (2) | x-2 | +I x+3 I >5.［思路］(1 )题由于两边均为非负数，因此可以利用丨 f(x) I 〈| g(x) |= f 2(x) 〈 g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

(2)题可采用零点分段法去绝对值求解。

［解题］(1)由于|x - 1| > 0, | x + a | >0,所以两边平 方后有：2 2原不等式等价于 3xx 2- 4I x -1| 2<| x + a|即有x2-2X+I<X2+2ax+a2，整理得(2 a+2)x>i-1 当2a+2>0即a>- 1时，不等式的解为x>2(1 - a)；当2 a +2=0即a = - 1时，不等式无解；1当2a+2<0即a<- 1时，不等式的解为X V-(1-a)2(2)解不等式丨x-2 | + | x+3 | >5.解：当x < -3 时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5 = -2x>6 = x<-3.当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>5 - 5>5无解.当x >2 时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5 - 2x>4= x>2.综合得：原不等式解集为{ x | x>2或x<-3 }.1 解关于x 的不等式|log a(V x)| |log a(1 x) I ( a>0 且a工1)解析：易知—1< x <1 ,换成常用对数得：I lg(1 - x) | | lg(1 x) |lga Ig a.•.|lg(1- x)|2 |lg(1 x)|2于是lg2(1 - x)「lg2(1 x) 0oo=gcl —X)十_g (.x )=_g u ■X)丄g (-tX)」*1—X••• _g (：)_g「二_k +2• • O A V -——X A V -••• _g (1——X 2A 0••• _g1—XXA oO A X A^X2・X +3H 2X —1A 5+1S孺»R ____________贾_X+3H2X —1IT4I x(xM 1)2〈4X +2(—3<x<——) -2.x —4(x 讥—3)-xB 13A X A MI卑4X +2A51B x z—卑XV2•• —3AX A — —2综上x<~7或x>2解：因为对数必须有意义，即解不等式组'x = 0丄 0，解得0 ” x3 - x30 x 乞—4。

(2)当 1<x < 2 时，即 log 3x log 33 - x - log 33.2x 3x 3' 0 x ox 3 时，log 3x log 33 - x - log 33(2) x - 3 3 - x2故填（八广7）「（Z ）3.求不等式iog x + log 3 -3- x-1的解集. 又原不等式可化为log3X（i ）当 0x^1 时-log 3 x log 3 3 x1log 3 3 x - log 33x3 一 x 3xIog 3（ 3- x ） z 1不等式化为 即3 x综合前提得：4（1）当 2x - 4,结合前提得:（3］_9综合得原不等式的解集为1°刁U历,3丿［变题3］解关于x的不等式\ x2 - 4mx • 4m2 m3［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。

若化简成|x-2m「m 3，则解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对m • 3的正负进行讨论。

［解题］原不等式等价于I x - 2m「m 3当m • 3 • °即m • -3 时 ,x - 2m m 3或x~ 2m -（m 3）••• x 3m 3或x m - 3当m 3 = °即m …3 时，| x 6 | °/. x—6当m • 3 7即m ” -3时，x R［请你试试4—3］2a21.解关于x的不等式:分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。

本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

解：当a 「X A ax-a时，不等式可转化为2即 2 2l9x(x- a)兰2a i9x - 9ax- 2a 兰03+ Vl7a乞x abx £a x £a当a时不等式可化为2即 2 2iax(a -x)兰2a i9x - 9ax+2a 0』a十2a』x 或x a3 3故不等式的解集为C L空,3‘^a3 . 3 6 一。

2.关于x的不等式| kx - 1| < 5的解集为｛x| —3< x < 2｝，求k的值。

按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k值的不确定，要以k的不同取值分类处理。

解：原不等式可化为—4w kx W 64 6 当k >0时，进一步化为x，依题意有k kk =3，此时无解k = 3当k =o 时，显然不满足题意当k <o 时， ［丄2厂X 一匚，依题意有 6k 2k k 3I k综上，k =- -2。

第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题［变题4］若不等式I x — 4|+|3 - X |V a 的解集为空集， 求a 的取值范围。

［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采 用零点分段法，即令每一项都等于o ,得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集 的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较 大。

若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义 用数形结合方法或联想到绝对值不等式| a + b | < I a |+|b |，便把问题简化。

［解题］解法一（1）当a < o 时，不等式的解集是空集。

⑵当a >o 时，先求不等式| x —4|+|3 — x |< a 有解k二时a 的取值范围令 X — 4=0 得 X =4,令 3 — X =0 得 X =3①当X 》4时，原不等式化为 X — 4+ X — 3<a ,即2 X —7<ag47 + a解不等式组：2x-7<a 八*〒，二a>12X <aa >i综合①②③可知，当a >1时，原不等式有解，从而当0<a < 1时，原不等式解集为空集。

由⑴⑵知所求a 取值范围是a < 1解法二由| X — 4|+|3 — X |的最小值为1得当a >1时，| x —4|+|3 — X |v a 有解 从而当a < 1时，原不等式解集为空集。

解法三：••• a >| X — 4|+|3 — x | > | X — 4+3 — x |=1 •••当 a >1 时，| x — 4|+|3 — x |< a 有解 从而当a < 1时，原不等式解集为空集。

②当3vx<4时，原不等式化为 4—X + X — 3< a 得a>1 ③当X < 3时，原不等式化为 4 — X +3 — X < a 即 7 —解不等式37 - 2x a标准实用1. 对任意实数X，若不等式| X+1| - | X —2|> k恒成立，求k的取值范围。