不等式和基本不等式一．知识梳理1.实数大小的比较方法(1)作差法：a>b ⇔a-b>0，a<b ⇔a-b<0，a=b ⇔a-b=0(),,a b a b,.>>>⇔><⇔<=⇔=a2a 0b 01ba a11a b b b作商法当时2.不等式的性质(1)性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b. (2)性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. (2)性质3:如果a>b,那么a+c>b+c. 推论:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(4)性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;，如果a>b,c<0,那么ac<bc. 推论1:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 推论2:如果a>b>0,那么a 2>b 2.推论3:如果a>b>0,那么a n >b n (n 为正整数). 推论4:如果a>b>0,那么nnba11〉 (n 为正整数).3.含有绝对值不等式(1)定理:对任意实数a 和b,有|a+b|≤|a|+|b|,其中等号成立的条件为ab ≥0.说明:①定理中的b 以-b 代替,则有|a-b|≤|a|+|b|.，其中等号成立的条件为ab ≤0. ②对任意实数a 和b,有||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|. (2)绝对值不等式的解法解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义,设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组,常用的方法有定义法、平方法、公式法等. 4.平均值不等式定理1:对任意实数a,b,有a 2+b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号).定理2;,,""),.+≥==a ba b a b 2对任意两个正数有当且仅当时取号即两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 定理3:对任意三个正数a,b,c,有a 3+b 3+c 3≥3abc(当且仅当a=b=c 时取“=”号).:,,""),.++≥===a b c 4a b c a b c 3定理对任意三个正数有当且仅当时取号即三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值二．典例分析题型一 比较两个数的大小,∈≠1a R a a 例设且的大小点评:比较两个实数的大小,可以用作差法或作商法,若含有未知字母,注意分类讨论. 练习1: 已知a,b,c ∈R +,且b<c,比较ab 与ac+bc 的大小.题型二 绝对值三角不等式定理的应用对于绝对值三角不等式定理：|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，要从以下两个方面深刻理解： (1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时． (2)该定理可以推广为|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |，也可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．例2 （1）f (x )＝|3－x |＋|x －2|的最小值为________．（2）若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是________.练习2 已知f(x)=|x-1|+|2x+3|.若f(x)≥m 对一切x ∈R 都成立,求实数m 的取值范围;(1)形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．(2)上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集．例3解下列不等式：(1)|x－1|<2；(2)|x2－1|>3；(3)|x2－2x＋4|>2x；(4)4|x＋6|<3－2x.（5）2|x|+|x-1|<2例4已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.(1)解不等式f(x)≤4；(2)若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求实数a的取值范围．例5 若|a-b|>c,|b-c|<a,求证:c<a.点评:绝对值不等式|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|的几何意义是:三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边,在运用时注意等号成立的条件.a a a4:x ,y ,z ,:x 2y 3z a 369<<<+-<练习已知求证题型五 利用不等式求最值111.1a,b,c ,a 2b c 1,_____a b c++=++例6（）已知都是正数且则的最小值是2211x,y ,x y _____.2y 2x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若是正数则的最小值是练习5:θ为锐角,求y=sin θcos 2θ的最大值.(]22t t 2.a t 0,2,a ( )t 9t 12141A.,1 B.,1 C., .,6136136D +≤≤∈+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣例7若不等式在上恒成立则的取值范围是16:x a 51x ,xa ________.+>-+练习不等式对于一非零实数均成立则实数的取值范围是三高考回顾例8(2010·新课标全国卷，理)(本小题满分10分)设函数f(x)＝|2x－4|＋1.(1)画出函数y＝f(x)的图像；(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．例9 (2010·福建卷，理)已知函数f(x)＝|x－a|.①若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；②在①的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．四 家庭作业一、选择题1（2011年重庆理高考题7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b +的最小值是 A ．72 B ．4 C ． 92 D ．52.（2011年全国高考大纲理3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞3（2011年上海高考题理15）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B．a b +≥C ．D 11a b+>D ．2b aa b +≥4.设a>0,b>0,下列不等式中不成立的是2222b aA. 2B.a b 2ab a bb a 112C.a b D.2a b a b a b+≥+≥+≥++≥++5.设a,b,c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是2211A.a b a c b cB.a a a a1C.a b a b-≤-+-+≥+-+≥≤-6.函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是( ) A.1 B.2 C.-2 D.不存在7.设a,b ∈R,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值为7A. C. 3 D.32---- 8.不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为( )A.(,2][2,) .(,1][2,).(,2][3,) .(,3][2,)B C D -∞-+∞-∞-+∞-∞-+∞-∞-+∞9.设a>1,方程|x+log a x|=|x|+|log a x|的解是( )A.0≤x ≤1B.x ≥1C.x ≥aD.0<x ≤a 二、填空题x 110.(2009)1________.x 2+≥+广东不等式的实数解为 11.若5-x>7|x+1|与不等式ax 2+bx-2>0同解,而|x-a|+|x-b|≤k 的解集为空集,则k 的取值范围为________.12.设正数a,b,c,d 满足a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则ad 与bc 的大小关系是________. 三、解答题22113.x,y ,x y,:2x 2y 3x 2xy y >+≥+-+已知均为正数且求证14.(2009·宁夏海南)如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点,设x 表示C 与原点的距离,y 表示C 到A 距离4倍与C 与B 的距离的6倍的和. (1)将y 表示成x 的函数;(2)要使y 的值不超过70,x 应该在什么范围内取值、答案：练习1解:ab-(ac+bc)=a(b-c)-bc,∵b<c,∴b-c<0,又a>0,∴a(b-c)<0, ∵b>0,c>0,∴bc>0,-bc<0,∴a(b-c)-bc<0,∴ab<ac+bc.例2（1）解析：∵|3－x |＋|x －2|≥|3－x ＋(x －2)|＝1，∴f (x )min ＝1.，答案：1 （2）解析:由题得|x-a|+|x-2|≥|(x-a)-(x-2)|=|a-2|,∴|a-2|≥1,解得a ∈(-∞,1]∪ 例3 【思路分析】 这四个小题分别代表四个基本类型．【解析】 (1)原不等式等价于－2<x －1<2，解得{x |－1<x <3}．(2)原不等式等价于x 2－1>3或x 2－1<－3，由x 2－1>3，得x >2或x <－2.由x 2－1<－3，得x 2<－2无解．∴原不等式的解集为{x |x >2或x <－2}．(3)原不等式等价于①x 2－2x ＋4<－2x 或②x 2－2x ＋4>2x.解①得无解，解②得x ≠2.∴原不等式的解集为{x|x ∈R 且x ≠2}．(4)原不等式等价于－14(3－2x)<x ＋6<14(3－2x)．即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋24>2x －3，4x ＋24<3－2x.解之得－272<x<－72.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－272<x<－72例4练习3()()():,(),,,?.,x (,),,,.=+--+≤⎧⎪=+-=+<<⎨⎪-≥⎩⎛⎫=-+-<- ⎪⎝⎭f x 2x x 1f x 3x 1x 0f x 2x x 1x 10x 13x 1111y 22122x x 12133解析设作出函数的图象用数形结合法解不等式其图象如图它与直线交于点和所以不等式的解集是例5 证明:由|a-b|>c,|b-c|<a,，所以c-a<|a-b|-|b-c|≤|(a-b)+(b-c)|=|a-c|=|c-a| 由c-a<|c-a|知c-a<0,所以c<a. 例6 （1）（2）222211111111:x y x y 2x 2y 4,2y 2x 22x 2y 22x 2y 11x y 2y 2y 12x ,x y .2x 21y 2y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧+=+⎪⎪⎪===⎨⎪⎪=⎪⎩解析当即时取得最小值 练习5：2242222223max 1:y sin cos 2sin cos cos 212sin cos cos 4()23273232sin2cos2sin ,y .39θθθθθθθθθθθ==++≤====解当且仅当即时取等号此时例7 答案:B练习6 1:x 2,a 512,4a 6x+≥-+<<<解析因为所以解得 例8 【解析】 (1)由于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x<2，2x －3，x ≥2，则函数y ＝f(x)的图象如图所示．(2)由函数y ＝f(x)与函数y ＝ax 的图象可知，当且仅当a ≥12或a<－2时，函数y ＝f(x)与函数y ＝ax 的图象有交点．故不等式f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪[12，＋∞)．例9【解析】 解法一 ①由f(x)≤3得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.②当a ＝2时，f(x)＝|x －2|.设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)，于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g(x)＞5； 当－3≤x ≤2时，g(x)＝5； 当x ＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 即g(x)≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．解法二 ①同解法一．②当a ＝2时，f(x)＝|x －2|.设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x －3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 即g(x)≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是(－∞，5]．家庭作业 答 1，【答案】C 2，【答案】A 3，答案:D ， 4.答案:D5，1:C a b 2,a b 0a b-+≥-<-解析选项当时不成立.答案:C,6，解析:|x+1|-|x-1|≤|x+1-x+1|=2,故选B.7，22a b :1,a ,b ,63a b 3sin().a b 3,Cθθθθθϕ+===∴+==++-解析由已知得令即的最小值为故选,8，答案:D9，解析:由题可知x 与log a x 同号,,又x>0,∴log a x ≥0,∵a>1,∴x ≥1. 答案:B第 11 页 共 11 页 10，3:(,2)2,2⎛⎤-∞-⋃-- ⎥⎝⎦答案, 11.解析:不等式5-x>7|x+1|的解集为{x|-2<x<-14}，则由根与系数关系可得a=-4,b=-9. 又知|x+4|+|x+9|≥|(x+4)-(x+9)|=5,，由题意可知k<5.12，解析:由0≤|a-d|<|b-c|,∴(a-d)2<(b-c)2,,∴(a+d)2-4ad<(b+c)2-4bc,∵a+b=b+c, ∴-4ad<-4bc,∴ad>bc.13，,14，解:(1)y=4|x-10|+6|x-20|,0≤x ≤30.()4x 106x 2070,2,x 0x 30..x .⎧-+-≤⎨≤≤⎩∈依题意满足解不等式组其解集为[9,23]所以。