第二讲从天上到地上———哥白尼—开普勒—伽利略—牛顿近代科学始于仰望星空，文艺复兴时期的哥白尼和开普勒，思想直承古希腊，眼光还在天空；直到伽利略才把数学从天空中拉回到地面上，最后是牛顿，对天上地上的自然现象做了第一次大综合，他的著作就是《自然哲学的数学原理》。

至此，数学从理型世界回归到了现实世界。

这个过程当中有两点值得注意。

第一点，数学与实验的结合。

毕达哥拉斯—柏拉图的数学传统有一种鄙薄实用、厌弃现实世界的倾向，这虽然也表现了一种对数学的执着，即，不被纷乱的表相所迷惑，坚信数学对事物的本质有一种理解力，不是用现实的不完美的材质去建立数学，去改变数学，反而要用数学的形式去解释现实。

柏拉图的学生亚里士多德的观点与此相反，在亚里士多德那里，数学的地位不高，只是描述事物的形式属性的。

数学的作用肯定是要大于亚里士多德所说的，因此亚里士多德的数学观在数学界一直没有什么市场，当然了，科学界和经济学界那些认为数学永远只有工具性价值的人一定是亚里士多德的门徒。

柏拉图的数学观对科学的阻碍作用是显然的，把数学的领地限制在了理型世界。

上一讲说过，这种观点在亚历山大时期就已经大打折扣了，那里已经出现了数学与经验知识相结合的苗头，并且产生了阿基米德这样完全具有近代科学思想素质的天才。

数学的发展需要一种自由的气氛，既要有对物理世界的问题的惊奇感，又要有从抽象方面思考这些问题的兴趣，而不必去关心是否会带来实际的利益。

亚历山大时期的数学和科学已经有了这种迹象，它似乎能够把雅典时期的超凡脱俗的数学拉回到现实世界中来。

但是强大的罗马文明和随之而来的漫长的欧洲中世纪文明打断了这种自然的进程，数学和科学的发展此后几乎都完全停滞了。

如果说罗马文明产生不出好的数学是因为它太过重视实用效果的话，那么欧洲中世纪文明不能产生数学成果则出于正好相反的原因，它根本就不关心现实的物理世界，现世的俗务都是不重要的，重要的是死后的天国，以及为此而做的心灵上的长期训练。

数学与实验的再度结合是一千多年以后的事情了，真正的开始应该是伽利略的工作，数学与实验的结合是一件两全其美的事情，数学有了一个无限广阔的领域，自然现象获得了可以使自身为人们所理解的数学规律。

第二点，毕达哥拉斯—柏拉图传统的基督教转换。

从古罗马后期开始，基督教统治了欧洲的思想世界一千多年，希腊精神以一种改头换面的方式从基督教中复活了。

“数学家和科学家也从中世纪神学的偏见中得到某种启示，它反复灌输这样一个观点，所有自然界的现象不仅相互关联而且还按照一个统盘的计划运转：自然界的一切动作都遵循着一个由第一因所规定下来的方案。

那么，神学中的上帝创造宇宙之说又怎么能够同寻找大自然的数学规律并行不悖呢？回答是提出一种新的教条，即：上帝是按数学方式设计了大自然的。

换句话说，把上帝推崇为一个至高无上的数学家，这就使寻找大自然的数学规律一事成为一件合法的宗教活动。

这个理论鼓舞了16、17世纪甚至18世纪的一些数学家的工作。

寻找大自然的数学规律是一项虔诚的工作，它是为了研究上帝的本性和做法以及上帝安排宇宙的方案。

文艺复兴时期的自然科学家是神学家，用自然代替圣经作为他们的研究对象。

哥白尼、开普勒、伽利略、帕斯卡、笛卡尔、牛顿和莱布尼兹再三谈到上帝通过他的数学方案给宇宙以和谐。

数学知识，因为它本身是宇宙的真理，就像圣经里的每行文字那样神圣不可侵犯，甚至高于圣经中的经文，因为它是明确的、无可非议的知识。

伽利略说过：“上帝在自然界中的规律中令人赞美地体现出来的并不亚于它在圣经字句中所表现的。

”对于这点莱布尼兹补充说：“世界是按上帝的计算创造的。

”这些人寻找数学规律以宣扬上帝创造工作的崇高和光荣。

人们不能希望像上帝一样清楚了解那些神圣的计划，但通过谦虚和谨慎，人至少能够近似地了解上帝的心意。

科学家们因为确信上帝在构造宇宙时已经把数学规律放在其中，所以他们坚持寻找自然现象背后的数学规律。

每一条自然规律的发现都被认为证明了上帝的智慧而非研究者的智慧。

开普勒在每次获得发现时都对上帝写了颂歌。

数学家和科学家的信仰与态度是文艺复兴时代席卷整个欧洲的更大量文化现象的范例。

希腊的著作冲击了非常虔诚的基督教世界，知识界的领导人则生在一个世界而被另一个世界所吸引，他们就把两个世界的教义融为一体的了。

”一天上的几何学———哥白尼、开普勒1在哥白尼之前，托勒密的地心说被基督教确定为天文学的真理；在伽利略之前，亚里士多德的物理学被基督教接受为真理。

而毕达哥拉斯和柏拉图的数学观则没有这样的幸运，它是在很久很久以后才被科学家们努力地与基督教信仰融合了起来，其中哥白尼和开普勒功不可没。

哥白尼是一个教士，在生命的最后三十年里，他花费了大量时间在教堂的小塔上用肉眼仔细观测行星的运动，并用自制的简单仪器反复测量，希望能够有关天体运动的理论。

此前哥白尼已经熟悉了古希腊的各种天文学说，包括日心说的猜测，他的心灵也受到了古希腊才有的那种理性信念的洗礼：大自然的现象乃是数学规律的协奏曲。

这个信念如此坚定，以至于他宁愿互换太阳和地球的位置来支持它。

当哥白尼着手处理行星运动问题时，托勒密的地心说已经被后人不断地复杂化，以适应不断增多的观测资料。

为了描述太阳、月亮和当时发现的五大行星的运动，托勒密的体系竟然需要77个本轮，加上其半径和运行速度的不同，其烦琐更是惊人，已经到了非改不可的地步了。

如何改进托米勒体系呢？哥白尼是一个虔诚的教士，他认为上帝的安排一定是非常和谐、非常宜人的，不会以那么复杂、笨拙而且有许多冗余的方式表现自己。

哥白尼读过一些古希腊人的其他天文学著作，其中提出过这样的可能性：地球绕静止不动的太阳运行，同时也绕自身的轴自转。

这只是一个猜测，哥白尼决心从数学上系统地探索这种可能性。

由于把太阳而不是地球放在每个均轮的中心，这使哥白尼能够用比较简单的图像来代替以前描述每一个天体运动所需要复杂图像，他只用了34个圆代替77个圆就足以解释月球和包括地球在内的六大行星全部的“空中舞蹈”。

这样一来，在用日心说在描述天体运行时就把问题大大简化了。

后来他也改善了这个方案，让太阳只是靠近这个体系的中心而不是正好位于这个中心上———这与托勒密关于本轮的偏心轨道的概念有同样的意义。

但是，哥白尼受古希腊思想的影响如此之大，托勒密体系的一些基本原理仍然被他保留下来了。

他相信天体运动一定是匀速圆周运动，最差的情形也是匀速圆周运动的组合———因为只有圆周运动才是最自然、最完美的运动。

从与观察资料的符合程度看，哥白尼的日心说并不比流行的托勒密地心说的修正理论更好，而且从人们牢固的的日常经验来看，日心说还处于劣势———它与我们的基本感觉是背离的。

哥白尼在谈到他历经三十年而成的成就时抑制不住自己的激动之情：“因此，我们在这有秩序的安置之后，发现了宇宙中奇妙的对称，轨道运动和大小之间的确定的和谐关系，这些通过其他方式是得不到的。

”哥白尼日心说的唯一优势是数学的优势，是数学作为上帝设计宇宙的最终方案所展现的简洁和完美的感召性力量的优势。

事实上，很长一段时间里只有数学家们支持哥白尼，哥白尼也说过他的书是写给数学家看的。

2如果没有开普勒，哥白尼的日心说是难以尽展其内在力量的，而且开普勒还是过渡到牛顿的一个关键性的人物。

哥白尼一生还算平稳，开普勒则是个命运多舛的人物。

他与哥白尼一样都是神秘主义者，有深沉的宗教感和对数学那种智性之美的感受能力，并且能把二者统一起来，他们坚信这个世界是上帝根据完美和谐的数学公式设计的———我们说过，这是毕达哥拉斯—柏拉图传统的一个基督教转换形式。

这是一种宗教信仰，我们在爱因斯坦那里也看到了它的类似形式，爱因斯坦称之为“斯宾诺莎的上帝”和“宇宙宗教感情”。

他对宇宙完美图式的追求如醉如痴，这让他的一些工作用我们现在的眼光看来显得很是荒唐可笑，从他在《宇宙之神秘》一书序言中写过这么一个思想和经历可见一斑：“我企图去证明上帝在创造宇宙并且调整宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时代起就为人们熟知的五种正多面体，他按照这些形体安排了天体的数目、它们的比例和它们运动之间的关系。

”当时发现了六大行星，而正多面体只有五种，开普勒以这种方式把二者联系了起来：每个正多面体都有一个内切球面和一个外界球面，把这些正多面体一个套一个，使得里面这个正多面体的外接球面恰好是外面那个正多面体的内切球面，那么一共就有六个球面，刚好和六大行星的数目一样。

然后呢，开普勒通过艰苦的排列组合，找到了五种正多面体的一种最好的套层次序，其中六个球面的半径比例与六大行星的观测半径最为接近。

杨振宁先生在北大百年校庆时有个讲演，《物理学与对称》，提到了开普勒的这件事。

杨先生说，开普勒的荒唐只是由于那时候的数学太初等了，但是路子还是对的，现代物理学走的就是一条从优美的数学对称定律出发去整理物理资料的路子。

这个漂亮的理论与实际的观测资料还是不太一致，开普勒忍痛割爱，放弃了用正多面体揭示宇宙神秘的企图，他从第谷·布拉赫那里继承了更为丰富、更为精确的观测资料，他最终确信只有跳出托勒密、哥白尼还有自己的那套天文学体系的窠臼，放开视界，才有可能找到能把这些资料统合起来的更深邃、更优美的数学公式。

他成功了，开普勒行星运动三大定律现在已经写在了中学的物理教科书里，每一个有教养的人都认识它。

开普勒这样评价他的理论：“我在内心深处肯定它是真实的，我带着惊人的狂喜来鉴赏它的美。

”开普勒是有资格这么说的，下面我们逐一评点一下三大定律，重新体会一下它给人带来的智力上的美感。

开普勒第一定律说，行星运动都是椭圆运动，太阳是椭圆的一个焦点，另一个焦点是一个数学点，其上没有物理实体的存在。

————一个椭圆运动与许多个圆周运动的组合运动：从托勒密以前的时代开始直到哥白尼，一千五百多年里，人们一直试图用圆周运动的组合来描述行星运动，一般要数十个本轮的复杂组合，现在只需要一个简单的椭圆就能非常准确地把星星运动轨道表示出来，何等简洁！开普勒第二定律说，连接太阳和行星的直线在单位时间扫过相同的椭圆面积。

————线速度恒定与面速度恒定：古希腊人相信行星运动一定具有恒定的线速度，开普勒和哥白尼一样，一开始也坚信这个假设，但是后来的观测资料迫使他不得不放弃这个他非常珍爱的信念———行星的线速度是变化的。

当他发现用面速度代替线速度的角色时，就能够用具有同样魅力的东西把这个信念保持下去时，开普勒欣喜若狂。

显然，从观测资料看，上帝分明喜欢面速度守恒胜过线速度守恒。

开普勒第三定律说，如果T是任一行星的公转周期，D是行星椭圆轨道的半长轴，那么对所有的行星来说，其公转周期T的平方与相应椭圆轨道半长轴的立方之比是个常数，这个常数对所有的行星都是同样的。

————对这第三定律开普勒付出了异常艰苦的努力，当然得到了异常丰厚的回报。