第一章行列式及其应用行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的.日本著名的“算圣”关孝和在1683年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法.与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不同,关孝和从高次方程组消元法入手对这一概念进行阐述.行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念.1683年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列式这个概念。

该书中提出了乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。

1693年，德国数学家莱布尼茨从三元一次方程组的系统中消去两个未知量得到了一个行列式。

这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。

由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行列式中元素的位置：ij代表第i行第j列。

1730年，苏格兰数学家科林•麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组的解法，并给出了四元一次方程组一般解的正确形式。

1750年，瑞士的加布里尔•克莱姆首次在他的《代数曲线分析引论》给出了元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。

此后，行列式的相关研究逐渐增加。

1764年，法国的艾蒂安•裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。

法国人的亚历山德•西奥菲勒•范德蒙德在1771年的论著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。

此后，数学家们开始对行列式本身进行研究。

1772年，皮埃尔-西蒙•拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。

1773年，约瑟夫•路易斯•拉格朗日发现了的行列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。

行列式被称为“determinant”最早是由卡尔•弗里德里希•高斯在他的《算术研究》中提出的。

“determinant”有“决定”意思，这是由于高斯认为行列式能够决定二次曲线的性质。

高斯还提出了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。

十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。

此前，高斯只不过将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁•路易•柯西在1812年首次将“determinant”一词用来表示行列式。

柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。

柯西还证明了曾经在雅克•菲利普•玛利•比内的书中出现过但没有证明的行列式乘法定理。

十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。

行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果。

行列式是现行高中普通课程标准（实验）中新增加内容，安排在选修4—2中，行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、思想、方法，培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。

行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。

本文结合中学数学课程内容，将从空间几何、平面几何、解析几何、高中代数等方面探究行列式在中学数学领域中的应用。

一、行列式在平面几何中的应用一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题。

例1 证明不存在格点三角形是正三角形。

证明：（反证法）假设存在格点三角形是正三角形。

不妨设是格点三角形且是正三角形。

设其顶点坐标分别为，，，，，所以，。

又因为，前后矛盾,所以不存在格点三角形为正三角形。

例2 证明三角形三条中线交于一点。

(1980年高考题)如图1如图1所示，在三角形ABC中，H、I、J分别为边BC、AC、AB的中点。

求证：三条直线AH、BI、CJ相交于一点G。

证明：不妨以AB所在直线为x轴，点C在y轴上作直角坐标系。

设A、B、C三点的坐标分别为A（a,0）,B(b,0),C(0,c),则显然有H，I ，J，分别求得直线方程：AH：CJ：BI：令AH所在直线为，则(2)-(1)得，，，。

代入（2）得，，从而AH所在直线为。

同理，将这三个直线方程看做以为未知数的齐次线性方程组，则其系数行列式为：所以齐次线性方程组有唯一解，即这三条直线交于一点。

例3 求证：三角形三条高线交于一点。

证明：建立直角坐标系如图所示，设因为直线AD法向量为，且过点,所以直线AD为。

同理，直线BE为，直线CF为。

将三个直线方程看做是以x,y,1为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为，故齐次线性方程组有唯一解，即三条直线交于1点。

利用齐次线性方程组有非零解的充要条件这一理论，能给出中学解析几何中直线方程、圆锥曲线方程等的行列式形式。

例4 求经过点和，且焦点在x轴上的椭圆方程。

解：设椭圆方程为，若点和在椭圆上,则将其看成关于，和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆方程可写成：，代值，即解得。

例5 求经过点和，且焦点在x轴上的双曲线方程。

解：设双曲线方程为，若点和点在双曲线上,则将其看成关于，和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆方程可写成：，代值，即解得例6 求椭圆内接三角形ABC面积的最大值。

解：不妨设三角形ABC的坐标分别为，则有（），易知：，点为圆上三点，不妨依次设为，因为，。

又在圆里正三角形面积最大，故，所以，即椭圆内接三角形ABC面积的最大值为。

每个多项式都可以表示成几个多项式的和或者差，而每个多项式又可以表示成几个多项式的乘积，因此利用行列式的定义，就可以将任一多项式表示成一个行列式，进而利用行列式的性质对其进行分析．例如，设任一个多项式为F，它总可以表示成为，其中为多项式，于是。

应用行列式进行分解因式重在构造，利用行列式的性质进行运算，以使得可以提取公因式。

例7 分解因式解： == （第一列乘以1加到第二列）== （提取公因式）==例8 分解因式解：原式例9 分解因式解：原式例10 分解因式解：原式例11 分解因式解：原式。

应用行列式解决代数不等式问题:例12 求证不等式，其中。

证明：要证明，只需证明；（将第二行和第三行分别加到第一行）因为，所以，故得证。

例13 求证不等式。

证明：=（根据行列式线性性质展开）===。

即证。

例14 求证：当时，不等式恒成立。

证明:= （第二行乘以1加到第一行）= （第三行乘以1加到第二行）= （分别从第一行和第二行提取公因式x）==所以当时，。

故不等式恒成立。

例15 用行列式证明柯西不等式: 求证不等式，其中。

证明：，又由于从而，即，即证得柯西不等式。

在中学数学中详细介绍了一元二次方程的解法，而学生要解决未知数含根式或高次的方程就需要较强的解题技巧和思维能力，而采用行列式这个有用的数学工具去解决这类问题就可以取得事半功倍的效果。

例16 解方程：。

解：即，，，或解得：，。

例17 已知反比例函数和一元二次函数，求在实数域内它们的交点所构成的图形的面积。

解：由已知得，即。

= 。

= （第一列乘以1加到第二列）== (提取公因式)==所以，，，在实数域内有三个交点且分别设为A，B和C。

易知，，，即，。

所以这三个交点构成的三角形面积为:将形如的分式有理化（其中 ) ，显然直接采用中学数学现行的理论是不能解决这个问题的，我们不妨利用中学数学中求等比数列前N项和的方法构建一个齐次线性方程组，结合行列式给出解决这类分式有理化的通法。

一般地，不妨设S= ，即将有理化，分别用和去乘S，得到：变形为：，，。

将其看成关于1，，的齐次线性方程组，有非0解，故系数行列式等于0，即：。

所以：。

（其中）例18 将分母有理化。

解：代值求得。

行列式在解决中学数学中的三角函数问题也有妙用，本文通过构造齐次线线性方程组给出余弦定理的行列式证法，和利用行列式的恒等变形的特性解决一些棘手的三角恒等式证明问题。

例19 证明三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

(余弦定理)即证明:由射影定理知，(1)由知等式中不含和,则我们将射影定理变形为：将其看成关于，和-1的三元齐次线性方程组,该方程组必有非0解,所以=0，将其展开有= =0即，得证。

同理可证(2)和(3)。

例20 证明三角恒等式:。

证明：附：1。

应用行列式解决空间几何问题中学数学必修4和选修2-1已经针对平面向量和空间向量有了较为深刻的研究，新课标要求学生掌握空间向量的线性运算和数量积，在此基础上我们引入空间向量的外积和混合积，探寻行列式的几何意义，以新的视角去认识向量与空间几何的紧密关系，开辟新的解题思路和方法，为初等数学和高等数学的衔接做好铺垫。

定义1：两个向量与的外积仍是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为：与均垂直，并且使成右手系，即当右手四指从弯向（转角小于）时，拇指的指向就是的方向。

向量的外积亦称向量积。

定义2：设，，是3个向量，称为这三个向量的混合积。

可记作。

在直角坐标计算向量的外积和混合积：设是一个右手直角标架，，，在其中的坐标分别是，则。

例1 已知正方体的棱长为1，M点是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点。

(2010年四川高考卷18题)(1)求证：OM为异面直线AA和BD的公垂线;(2)求二面角的大小;(3)求三棱锥的体积。

解：以点D为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系则由已知；(1)证明: =(，，0），=(0,0,1) ,=(-1,-1,1)。

=0, ,, 。

又因为OM与异面直线AA'和BD'都相交,所以OM为异面直线AA'和BD'的公垂线。

(2)取平面的一个法向量为=(0,1,0),设平面的法向量为，因为=(0,1， ) ,所以= = ，= = = 。

由图分析可知,二面角为锐角,故二面角的大小为。

(3)因为=( , ,0) , ，，所以。

例2 如图3所示, 和都是边长为2的正三角形,平面平面，平面，= 。

（2010年江西理科卷）(1)求点A到平面的距离；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值。

解:建立如图4所示的直角坐标系，则由已知，（1）方法一：,,，所以，因为，所以即，所以=，又因为（d为点A到平面MBC的距离），代入值解得。

方法二：设平面的法向量为，因为所以，，又，故。

(2)设平面的法向量为,由于，,从而。

设平面BCD的法向量为,由于,从而，，。

从而平面ACM与平面BCD所成二面角为锐角，其正弦值为。

例3 如图所示，在长方体中，已知=2，E、F分别是线段AB,BC上的点，且，点M、N分别为线段，的中点。