2012-2013学年度上学期期中考试高一数学试题【新课标】本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分，共 100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷相应空格中）1. 若集合{1234}A =，，，，{2478}{0,1,3,4,5}B C ==，，，，，则集合()A B C 等于（ ） A. {2,4} B. {0,1,2,3,4,5} C. {2,4,7,8} D. {1,3,4}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的是（ ） A ．y x =B.2xy =C. 2xy -=D.12++=x x y3.“龟兔赛跑”故事中有这么一个情节：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.如果用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图中与该故事情节相吻合的是 （ ）4. 已知()f x 的定义域为[4,3]-，则函数)()()(x f x f x F --=的定义域是（ ）A. [3,3]-B. [4,3]-C. [3,4]-D. [4,4]-5. 满足“对定义域内任意实数y x ,，都有()()()f x y f x f y ⋅=+”的函数可以是 （ ）A ．2()f x x =B ．()2xf x =C ．2()log f x x =D ．ln ()xf x e=6. 已知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称,且2()2f x x x =-则()g x = （ ） A.22x x - B.22x x +C. 22x x -+D. 22x x --7.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(2)0f =，则不等式 ()()0f x f x x--<的解集为（ ） A ．(20)(0,2)-， B ．(2)(0,)-∞-，2 C．(2)(2)-∞-+∞，，D ．(20)(2)-+∞，，8. 2()log (1)(01)a f x x ax a a =-+>≠且满足:对任意实数21,x x ,当221ax x ≤<时,总有12()()<0f x f x -,那么a的取值范围是( )A. (0,2)B.(0,1)C.(0,1)(1,2) D. (1,2)9.定义函数D x x f y ∈=),(，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得12()()f x f x C =，则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C.已知(),[2,4]f x x x =∈，则函数()f x x=在[2,4]上的几何平均数为（ ） A.2B.2C.22D.410. 若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为同族函数.那么与函数2,{1,0,1,2}y x x =∈-为同族函数的个数有( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分 ．把答案填在答卷中相应横线上） 11．若全集{1,2,3,4,5,6}U =,{2,4,5}A =,{1,2,5}B = ,则()U C A B = .12. 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中 点A B C ，，的坐标分别为)4,6(),0,2(),4,0(， 则[]{}(2)ff f = ___.13.函数()f x 满足：(1)(3),f x x x x R +=+∈，则()f x 的最小值为 . 14. 已知指数函数过点P （1，2010），则它的反函数的解析式为： .15.函数2()2f x x x a =-+在区间)0,2(-和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是______ .16．若当1(0,)2x ∈时，不等式2log a x x x +<恒成立，则实数a 的取值范围是 .17. 给出下列五个命题：①函数y f x x R =∈(),的图象与直线x a =可能有两个不同的交点； ②函数22log y x =与函数22log y x =是相等函数；③对于指数函数2x y =与幂函数2y x =，总存在0x ，当0x x > 时，有22x x >成立；④对于函数[]f x x a b ∈(),,，若有0()()f a f b ⋅＜，则f x ()在a b (,)内有零点.⑤已知1x 是方程lg 5x x +=的根，2x 是方程105xx +=的根，则125x x +=.其中正确的序号是 .三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18．( 本小题满分6分）化简、求值：0.2563238log 2log (log 27)+⨯.19.（本小题满分11分）已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=,在下列条件下分别求实数m 的取值范围： （Ⅰ）A =∅；（Ⅱ）A 恰有两个子集；（Ⅲ）1(,2).2A ≠∅20.（本小题满分11分）已知函数32()32x xx xf x ---=+.（Ⅰ）判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）判断()f x 的单调性,并加以证明；（Ⅲ）写出()f x 的值域.21.（本小题满分11分）已知1,0()2,0x f x x <⎧=⎨≥⎩，3(1)(2)()2f x f x g x ---=，（Ⅰ）求()y g x =的解析式，并画出其图象； （Ⅱ）写出方程[()]2[()]f g x x g f x =的解集.参考答案19.（本小题满分11分）已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=,在下列条件下分别求实数m 的取值范围：（Ⅰ）A =∅；（Ⅱ）A 恰有两个子集；（Ⅲ）1(,2).2A≠∅ 解: （Ⅰ）若A =∅，则 关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，则m ≠0，且440m ∆=-<，所以 1m >； (3分)（Ⅱ）若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，讨论：①当0m =时，12x =，满足题意；②当m ≠0时，440m ∆=-=，所以1m =. 综上所述，m 的集合为{0,1}. (3分)（Ⅲ）若1(,2)2A≠∅，则关于x 的方程221mx x =-在区间1(,2)2内有解， 这等价于当1(,2)2x ∈时，求值域：222111(1)(0,1]m m x x x =-=--∴∈ (5分)【说明】若分类讨论，则容易遗漏，可酌情给分，参考解答如下：2()21f x mx x =-+在区间1(,2)2内有零点，则有：1()(2)02f f <，或者011221()02(2)0mmf mf ∆≥⎧⎪⎪<<⎪⎨⎪>⎪⎪>⎩，或者1212122x x ⎧=⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩或者，122122x x =⎧⎪⎨<<⎪⎩. 20.（本小题满分11分）已知函数32()32x xx xf x ---=+.（Ⅰ）判断()f x 的奇偶性； （Ⅱ）判断()f x 的单调性,并加以证明；（Ⅲ）写出()f x 的值域.解：（Ⅰ）3223161()3223161x x x x x x x x x x f x ---⋅--===+⋅++所以6116()(),6116x xxxf x f x x R -----===-∈++，则()f x 是奇函数. (3分) （Ⅱ） 61(61)22()1616161x x x x x f x -+-===-+++在R 上是增函数，(1分) 证明如下：任意取12,x x ，使得：1212660xxx x >∴>>则12211212222(66)()()06161(61)(61)x x xx x x f x f x --=-=>++++所以12()()f x f x >，则()f x 在R 上是增函数. (4分)（Ⅲ）20261x <<+2()1(1,1)61xf x ∴=-∈-+,则()f x 的值域为(1,1)- (3分) 21.（本小题满分11分）已知1,0()2,0x f x x <⎧=⎨≥⎩，3(1)(2)()2f x f x g x ---=，（Ⅰ）求()y g x =的解析式，并画出其图象；（Ⅱ）写出方程[()]2[()]f g x xg f x =的解集.解： （Ⅰ）当x <1时，x -1<0,x -2<0，∴g (x )=213- =1. 当1≤x <2时，x -1≥0,x -2<0,∴g (x )=216-=25.当x ≥2时，x -1>0,x -2≥0,∴g (x )= 226-=2.故1,1,5(),12,22, 2.x y g x x x <⎧⎪⎪==≤<⎨⎪≥⎪⎩(3分) 其图象如右图.(3分)（Ⅱ）()0[()]2,g x f g x x R >∴=∈ 5(1),0[()],2(2)2,0g x g f x g x ⎧=<⎪=⎨⎪=≥⎩所以，方程[()]2[()]f g x x g f x = 为 25,0,4,0x x x <⎧=⎨≥⎩ 其解集为{5,2}(5分)。