一、基本概率公式及分布1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P()=1-P(A) ;B发生的前提下A发生的概率==条件概率：P(A|B)=;或记：P(AB)=P(A|B)*P(B) ;2、随机变量分布律、分布函数、概率密度分布律：离散型X的取值是x k(k=1,2,3...), 事件X=x k的概率为：P{X=x k}=P k, k=1,2,3...; --- 既X的分布律；X X1 X2 .... xnPk P1 P2 ... pnX的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。

分布函数：F(x)=P(X), -; 是概率的累积！P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1) ;离散型rv X; F(x)= P{X;(把X<x的概率累加）连续型rvX；F(x)=, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X轴上的(-∞,x)围成的面积！性质：F(; F(;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p);②离散：泊松分布：X～Π(λ)P{X=k}=,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ;③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b),则：密度函数：f(x)=分布函数F(x)==④连续型：指数分布，参数为，f(x)=F(x)=;⑤连续型：正态分布：X～N(most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,方差D(X)=; 当µ=0，时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。

当X～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）, 由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)；看到X～N(,求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1);既把X变成；则～N(0,1)；例题：已知X～N(；求P(-1<X<3).解：(思路：µ=1，σ=2；变换式：)P(-1<X<3)=P(-1-1<X-1<3-1)=P()=P()= Φ(1)- Φ(-1)= Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;查表正态性质：如X～N(N(；则Z=aX+bY也是正态；Z～N(,其中µz=aµ1+bµ2 ; σz²=a²σ1²+b²σ2²；三、二维随机变量：离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...).联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..)联合分布律的表格形式:XYY1 Y2 Y3 P(X=I)X1 P11 P12 P13 P11+P12+P13X2 P21 P22 P23 P21+P22+P23X3 P31 P32 P33 P31+P32+P33P(Y= J) P11+P21+P31P12+P22+P32P13+P23+P33边缘分布：P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加）; P(X=2)，P(X=3)同样计算P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）; P(Y=2) ，P(Y=3)类似计算；条件概率：X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}==; P{Y=y1|X=x1}=; P{Y=y2|X=x1}=; P{Y=y3|X=x1}=连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的）则：F(x,y)=P(X<x,Y<y)=; F(∞,∞)=1 . 边缘密度：如XY独立，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y); 反之也成立；X,Y二维正态密度中的参数则X,Y独立；题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数；思路：注意x的定义域，利用F(∞)=求出参数；2、求P(X<Y)或P(X+Y>1)类，先画出x=y,x+y=1的图，确定积分上下限，并求积分；3、求Z=X+Y的分布：密度公式四、数学期望、方差数学期望E(X), 方差D(X) :离散：E(X)=; E(g(X))=;连续：E(X)=E(g(X))=性质：E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)如X,Y独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)；D(X)=E(X; D(C)=0，D(CX)=C²X如X,Y独立，D(X五、样本及抽样分布中心极限定理：E(X)=µ,D(X)=σ²的独立同分布的X1,X2,X3...Xn，当n充分大时，有：～N(0,1);是Xi的和；样本及抽样分布：从总体X中抽取一个个体，独立抽n次，记为X1,X2,...Xn, 它们组成独立、同分布的随机变量，叫随机样本，n是样本容量，X1,X2,..Xn的观测值x1,x2,x3...xn叫样本值。

如总体X的分布函数是F，密度是f; 则：F(x1,x2,..xn)=F(x1)*F(x2)*...*F(xn)=;f(x1,x2,...,xn)=;重要统计量：样本均值：=; 样本方差S²=; 如总体X的E(X)=µ,D(X)=σ²,则E(,D(;六、正态总体分布常用统计量：1、卡方χ²：X1,X2,...是来自总体X～N(0,1)的样本，χ²=X1²+X2²+...+Xn², 则称χ²～χ²(n)为自由度n卡方分布；性质：E(χ²)=n , D(χ²)=2n ;卡方χ²的上分位点：给定0<a<1, 满足P{χ²>χa²(n)}=a的χa²(n),已知a,n,查表可χ²(n)；a2、t分布：X～N(0，1),Y～χ²(n),XY互相独立，t=,称自由度为n的t分布，记t～t(n); 图形和N（0,1）类似；t分布的上分位点：给定0<a<1, 满足P{t>t a(n)}=a的,已知a,n,查表可t分布的图形：,3、F分布：U～χ²(n1) ；V～χ²(n2) ，且UV互相独立，F=; 是自由度为(n1,n2)的F分布，记F～F(n1,n2);F分布的上分位点：给定0<a<1, 满足P{F>Fa(n1,n2)}=a的χa ²,已知a,n1,n2,查表可；F分布性质：1-a(n1,n2)=1/a(n2,n1) ; 正态总体N(µ,σ²)的平均值和方差分布：E(, D(; D(S²)=σ²;性质1：平均值～N(µ,;2：～χ²(n-1); 卡方χ²分布；3：～t(n-1) ;t分布；4：X～N(µ1,), Y～N(µ2,) ; S1,S2是对应方差；～F(n1-1,n2-1) ;七、参数估计1、最大似然估计法：离散型总体X，其分布律P{X=x}=p(x;,待定参数，Xi(i=1,2..n)是个体样本，xi(i=1,2,..n)是样本取样值，则Xi(i=1,2..n)的联合分布律为：(既Xi(i=1,2..n)的积事件）；似然函数L(;把如L(=0时，可解得，称最大似然估计值。

为计算方便；可=0 ，计算出，正态X)的最大似然估计量为：=,=;2、无偏估计：指估计量的数学期望E()=;如E(,称是总体均值D(S²)=σ²，称样本方差是总体方差的无偏估计；其中，样本方差S²=，分母是n-1,不是n!.3、区间估计：置信区间：给定a(0<a<1),理解为概率，来自总体X的样本X1，X2,...Xn的统计量(如均值，方差等）在）之间，使得抽样样本的概率在1-a。

则称(为置信水平1-a的置信区间。

连续型rv：a已知，利用P()=1-a, 求出；常用的正态分布公式是：～N(µ,；题型：①求的置信水平为1-a的置信区间：a、变换成标准正态；令Y=, 则Y～N(0,1)；上分位点可查表得出，由于N(0,1)的对称性，下分位点是-；b、由-<<; 得<;就是的置信区间。

见图！②求的置信水平为1-a的置信区间：～t(n-1)；由P(>t a/2(n-1))=a/2, 查表得上分位点t a/2(n-1) ，由于t函数对称性，下分位点是- t a/2(n-1) ；- t a/2(n-1)< < t a/2(n-1) ;既得的置信区间(* t a/2(n-1))③方差的置信区间（未知）；～χ²(n-1); 卡方χ²分布；给定a, 查表可得上下分位点χ²a/2 (n-1)和χ²1-a/2 (n-1) ；解χ²a/2 (n-1)<（n-1)S²/σ²<χ²1-a/2 (n-1)得方差的置信区间：(,)④两个正态总体X～N(，Y～N(的置信区间；来自总体X的样本X1,X2,...Xn1, 均值,方差S1²;来自总体Y的样本Y1,Y2,... Yn2, 均值,方差S2²;a、的置信区间：1）、已知，设Z=, 则Z～N(既～N(0,1,上分位点为Z a/2; 置信区间为：（Z a/2）2）、=(未知），; 置信区间：（(n1+n2-2))其中：S²w=;b、两个方差之比的置信区间，均未知。

由：～F(n1-1,n2-1)；给定a, F分布的上下分位点分别为F a/2(n1-1,n2-1), F1-a/2(n1-1,n2-1),有：F a/2(n1-1,n2-1)<< F1-a/2(n1-1,n2-1) ;置信区间：( ,);八、假设检验方法：给定较小的a值(0.01,0.05), 得到上分布点Z a/2; 当统计量、等<Z a/2时，说明假设(H0)成立, 否则假设不成立(H1), a称显著性水平。

双边检验：H0:, H1:; H0的拒绝域为Z>Za时；左检验：H0:, H1:; H0的拒绝域为Z>Za时；右检验：H0:, H1:; H0的拒绝域为Z<Za时；，∴总体抽样的个体，分布在<Za的概率要大。