Gr,
r'r n
dS
1
如果 0 ，对（1）式进一步化简得：
r '
V
r G r, r
'
dV
S
hrGr, n
r' dS
2
存在矛盾：
我们引入中格林函数Gr,r' 表示的是点 r' 的源在 r
产生的场，（2）式中格林函数Gr,r' 表示的是r 点的源
在 r' 产生的场。
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
第四章 格林函数方法
自强●弘毅●求是●拓新
4.3.1 格林函数方法的基本思想
【例4-4】设在线性、各向同性、均匀无界空间有一密度为r
的点电荷分布，电荷体的体积为V，求电荷体的电位分布。
解：区域V上体电荷在无界空间
产生的电位：
r
2
r
r
lrim r 0
r r
r' dV
源点
r'
4.3.1 格林函数方法的基本思想
2G
r, r '
1 r r'
| G r, r'
n
0
s
物理意义和物理模型：
绝热边界条件的封闭系统内单位
热源产生的温度场分布 电位：
r r' Gr,r' dV Gr,r' (r')ds
V
s
r' r
Green函数物理模型
4.3.3 格林函数的对称性
格林函数的对称性：
G(r, r' ) G(r' ,r) 1
1 r r'
| G
r,r '
0
s
物理意义和物理模型：
接地导体壳内单位点电荷产生的电位
电位：
r
r '
V
G r, r
'
dV
r' G(r,r' )
s
n'
ds
r r
Green函数的物理模型
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
第二类边界条件的格林函数
0 时，引入格林函数后的Poisson定解问题
静态电磁场满足Poisson方程，其形式为：
2r
r
M
M
n
S
hM
其中M表示边界S上的变量，α，β是不同时为零的常数
0：第一类边界条件
0 ：第二类边界条件
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
引入格林函数 G r,r' ，将其代入Poisson方
程，得：
2G
r, r '
1 r r'
把（2）式中的 r 和 r' 互换，得：
r r 'G r,r
V
'dV
' h r' G r,r ' dS '
S
n'
V
r' G r
', r
Gr,r ' dV
'
h
S
r
' G r',r
n'
Gr,r
n'
' dS
'
利用格林函数的对称性 Gr',r Gr,r' ，得：
S
h
r
'
G r',
n'
r
G r, r' n'
dS
'
h r 'G r ,'r
S
G r, r' n'
dS
'
0
最终的解为：
r
V
r '
G r, r
' dV
h r ' G(r,r' )
s
n'
ds
1
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
将 h r' 还原，得:
(r)
G(r, r')(r')dV
V
'
S
G(r,
r')
(r')
n
(r')
G(r,r') n
dS
'
区域内体电荷 的贡献
区域边界面上 电荷对电位的 贡献
区域边界上电 偶极矩对电位 的贡献
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
Green函数的类型
第一类边界条件的格林函数
0时，引入格林函数后的Poisson定解问题
2G
r, r '
G
r, r '
G r,r' n
S
0
进一步处理，得：
2rGr, r' 2G r,r'rdV
V
1
V
rGr,
r'
dV1V来自r r'rdV
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法
对方程左边应用格林公式：( 2)dV dS ，
右边求体积分得：
V
S
r
V
r G r, r
'
dV
S
r
Gr,
n
r'
2G r, r ''
1
r r''
G
r,r '
G r,r' n
0
G r,r ''
G r,r''
n
0
2
经处理，得：
G r,r'' 2G r, r' G r, r' 2G r, r'' dV
V
1
r
r'
G r,r''
dV
1
r
r''
Gr,r'
dV
V
V
物理意义： 点的源在 点产生的场等于 点的源在 点
产生的场，具有互易性
数学意义：
G(r,r' ) G( r' , r )
也即具有对称性
4.3.3 格林函数的对称性
设G r,r' 和G r,r'' 是Poisson方程的解，均满足如下的方程
和边界条件：
2
G
r, r'
1
r r'
1 ,
在 ri ' 处电荷量为 r' dV 的点电荷在空间产生的电位
为：
dr r' dV
4π r r'
引入格林函数：G
r,ri '
1
4π r r'
根据叠加原理，电位函数表示为：
r
由体积分定义，得：i
r'dV
4π r r'
G r,ri ' r' dV
i
r
V
r'dV
4π r r'
1 G r', r'' G r'' ,r'
4.3.3 格林函数的对称性
应用格林公示将体积分化为面积分得：
G
r,r ''
S
G r,r' n
G r, r'
G r,r '' n
dS
1
G r ', r ''
G r '', r '
应用边界条件得：
G r',r'' G r'',r' 0
G r,ri ' r'dV
V
4.3.1 格林函数方法的基本思想
格林函数方法的基本思想： 将任意激励表示为许多单位激励的叠加组成，任意激
励通过线性系统的响应表示为许多单位激励响应的叠加。 通过求解单位激励的响应达到求解任意激励源的响应，从 而使问题的求解得到简化。
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法