线性代数期末复习题一、判断下列各题是否正确1． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。

（ ） 2． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。

（ ）3． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A)＝r ，秩(B)=s,则r = s 。

（ ）4． A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则(AB)＊= A ＊B ＊。

( ) 5． 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC ＝E ，则BCA ＝E 。

( )6． 设A 、B 为n 阶方阵，则，(A -1 B -1)T ＝(A T B T )-1。

( ) 7． 等价的矩阵的秩相等。

( ) 8． 若矩阵P T AP 为对称矩阵，则A 为对称矩阵。

( ) 9．在4阶行列式中，项a 13a 34a 42a 21带正号。

（ ） 10． A ＊是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则 (2 A)＊= 2 A ＊（ ） 11．在5阶行列式中，设a ij 为第i 行第j 列元素，A ij 为a ij 的代数余子式。

则， a 31A 41+a 32A 42+a 33A 43+ a 34A 44+ a 35A 45=0 （ ） 12．若A ＊是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则，|A ＊| = |A|n-1。

（ ） 13．若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A 2＋2AB ＋B 2。

( )14． 等价的向量组的秩相等。

( ) 15． A ＊是n 阶方阵A 的伴随矩阵，则A ＊A =A A ＊= |A| E 。

( ) 16．在4阶行列式中，项a 12a 34a 43a 21带负号。

（ ） 17. 若 n 阶矩阵A 可逆，则A 的n 个列向量线性相关 （ ） 18. 若矩阵A 、B 相似，则矩阵A 、B 合同。

（ ）19. 实二次型f (x 1, x 2, x 3) =2322x x + 是半正定二次型。

（ ）20. 已知三阶矩阵A 的三个特征值是 -1，1，2，则|A| = -2 ( ） 21设A 是4×5矩阵，秩（A ）=3，则A 中的3阶子式都不为0 （ ） 22若矩阵A 、B 合同，则矩阵A 、B 相似。

( )23．设A 、B 为n 阶可逆方阵，则 (AB)-1 = A -1 B -1。

( ) 24.． 若A 为对称矩阵，则P T AP 为对称矩阵。

( ) 25．在5阶行列式中，设a ij 为第i 行第j 列元素，A ij 为a ij 的代数余子式。

则 a 51A 51+a 52A 52+a 53A 53+ a 54A 54+ a 55A 55=0 （ ） 26．若矩阵A 中所有t 阶子全为式0，则秩(A )≤t 。

（ ） 27．n 维零向量是任何一组n 维向量的线性组合。

（ ） 28．正交矩阵的行列式等于1或 -1 。

（ ） 29．任一实对称矩阵一定能与对角矩阵相似。

（ ）30．实二次型f(x 1,x 2,x 3)=2322x x + 是正定二次型。

（ ）31若一个向量组线性相关，则该向量组的任一部分组都线性相关。

（ ） 32若向量α与β正交，则对任意实数a 、b, a α与b β也正交 （ ） 33若矩阵A 满足A T = A -1 ，则矩阵A 为正交矩阵 （ ） 34．若矩阵A 、B 相似，则矩阵A 、B 等价 （ ）35．n 阶矩阵A 非奇异的充要条件是A 的行向量都是非零向量。

（ ） 36．若λ1和λ2分别是n 阶矩阵A 、B 的特征值，则λ1 +λ2是n 阶矩阵A+B 的特征值， （ ） 37．二次型f(x 1,x 2,x 3) =（x 1+x 2）2 + (x 2-x 3) 2 + (x 3+x 1) 2的秩为2 （ ）二．单项选择题1.A ，B 为三阶方阵，矩阵X 满足A X A B X B B X A A X B E -=-+则 ( ) .(A)221()X A B -=-; (B)11()()X A B A B --=-+； (C)11()()X A B A B --=+- (D) 以上答案都不对. 2.A 、B 、C 为n 阶方阵，且A B C =,A 、B 、C 的列向量组分别为12,,,n ααα⋅⋅⋅；12,,,n βββ⋅⋅⋅；12,,,n γγγ⋅⋅⋅. 若12,,,n γγγ⋅⋅⋅线性相关，则( ) . (A) 12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关; (B) 12,,,n βββ⋅⋅⋅线性相关； (C) （A ）与(B)都成立； (D) (A)或(B)成立. 3. 设,A B为三阶矩阵，且2(32)3r A A E ++=，若()2r B =则()r AB B +=( ).(A) 1 ； (B) 2； (C) 3； (D) 无法判断． 4. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232γγαA ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=322γγβB ，其中32,,,γγβα均为三维行向量，已知18=A ，2=B ，则=-B A ( ) .(A) 1 ； (B) 2； (C) 3； (D)4.5. 若,A B 都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( ).(A) ()TTTA B B A =. (B) 111()A B BA---=.(C) ***()A B B A =. (D) 222()A B B A =.6. 若A 为三阶方阵，将矩阵A 第一列与第三列交换得矩阵B ，再把矩阵B 的第二列加到第三列得矩阵C ，则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为( ).(A) 010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C)01011100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (D) 011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.7. 若,A B 都是n 阶方阵，且0B ≠，0A B =，则必有( ).(A)B ≠. (B)*B≠. (C)TA =. (D) 222()A B A B -=+8. 已知向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，向量组1235,,,αααα的秩为4，则向量组 1234523,,,ααααααα--，的秩为（ ）.(A) 3. (B) 4 . (C) 5. (D) 不能确定9. r (A) = r (A,b)是非齐次线性方程组A x b =有无穷多解的 ( ).(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 既非充分条件又非必要条件. (D) 不能确定.10.若向量组1(1,3,6,2)Tα=，2(2,1,2,1)Tα=-，3(1,1,,2)Ta α=--的秩为2，则a =( ).(A) 1. (B) -2. (C) 2. (D) -1.11.若B A ,都是n 阶方阵，且0≠B ，0=AB ，则必有( ). (A)B ≠. (B)A =. (C)*B≠ . (D) 222)(B A B A +=+.12.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( ).(A). ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200120011 (B) 110120002-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C) 110020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. (D)111020002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.13.已知A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是( ).(A) 1A -. (B) 2A . (C) T A . (D) *A . 14．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++020209873232321x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ ]。

（A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －4 15．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ ]。

(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) | A | = －| B |16．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ ]。

（A ）（2A ）-1 = 2 A -1(B) |2A| = 2 | A | (C)()AAA 11*--=(D) (A -1 )T = ( A T )-117．设611521112344321--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44= [ ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 318．已知可逆方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21731A，则A ＝ [ ]。

（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3172 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3172 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--217319．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ ]。

(A) A 为方阵 （B ）A 为非零矩阵 (C) A 为可逆方阵 (D) A 为对角阵20．43211113214304324321)(xxx x x f =，则x 4的系数是 [ ]。

(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -221．若A 为三阶方阵，将矩阵A 第一行与第三行交换得矩阵B ，再把矩阵B 的第一行加到第二行得矩阵C ，则满足QA=C 的可逆矩阵Q 为 ( )(A) 010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C) 001011100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (D) 011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.22．下列不是矩阵A 可逆充分必要条件的是 ( )(A) | A | ≠ 0 (B) A 是非奇异矩阵 (C) A 的任一特征值不为零 (D) A 是满秩矩阵。

23．设n 阶方阵A 与n 阶方阵B 等价，则( )(A) | A | = | B | (B) A 与B 合同 (C) r (A) = r (A,B) (D) A 与B 相似24．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是( )（A ） （2A ）-1 = 2 A -1(B) |2A| = 2 | A |(C) (2 A)＊ = 2 A ＊ (D) (2A -1 )T = 2(A T )-125．A 为n 阶矩阵，每个n 维向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则秩（A ）=( )( A ) 1 （B ） n ( C ) n-1 ( D ) 026．若向量组α1=(1，1，3，1)T ，α2=(1，1，a ，1)T ，α3=(5，-3，7，-11)T的秩为2，则a =( )(A) 1. (B) 3. (C) -3. (D) -1.27.设A 是m ×n 矩阵，Ax=0是线性方程组Ax=b 的导出组，若m ＜n ，则( )A. Ax=b 必有无穷多解B. Ax=b 必有唯一解C. Ax=0必有非零解D. Ax=0必有唯一解28. 设二次型f(x)=x TAx 正定,则下列结论中正确的是( )A ．对任意n 维列向量x ，x T Ax 都大于零B ．A 的特征值都大于零C ．f 的标准形的系数都大于或等于零D ．A 的所有子式都大于零29. 设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是( ) (A).（1，1，1）T (B).（1，1，3）T(C).（1，1，0）T (D).（1，0，-3）T30．若矩阵B 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示，则 ( )(A) 秩(B )≤秩(A) (B) 秩(B )＜秩(A) (C) 秩(B )＞秩(A) (D) 秩(B )≥秩(A)31．设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )（A ）．0 （B ）. 1 （C ）．2 （D ）. 332．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( ) （A ）．A 与B 等价 （B ）. A 与B 合同 (C)． | A | = | B |(D). A 与B 有相同特征值33．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则矩阵A( )(A). 正定 (B). 半正定 (C). 负定 (D). 半负定34．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b 的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（ ） A ．α1+α2B ．α1-α 2C ．β+α1+α2D ．β+212121α+α35．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ） A ．k 1(1,0,2)T+k 2(1,-1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)TC ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)TD ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T36．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111的非零特征值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．137．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．138．设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 39．二次型2.2),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（ ）A ．0．B ．1C ．2D ．340．设向量，若有常数a ,b 使，则（ ） A ．a =-1, b =-2 B ．a =-1, b =2 C ．a =1, b =-2D ．a =1, b =2 41. 设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ）A.21 B.1 C.23 D.242. 设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一C. β不能由α1, α2线性表示D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一43. 下列矩阵是正交矩阵的是（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10010001 B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cos D.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--336102233660336122三、填空题1.设A 、B 为n 阶非零矩阵，A B O =，且A 的阶梯形为1000n E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则矩阵B 的秩= .2.已知1111111111111a D b c=，则此行列式的所有代数余子式之和,1nij i j A ==∑.3.已知(1,1)Tx =是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a A 011的一个特征向量，则=a .4.为已知A 是3阶方阵，123,,ααα是三维线性无关的向量. 若112A ααα=+，223A ααα=+，313A ααα=+，则A 的行列式等于 .5.设,A B 均为三阶矩阵，2,3A B =-=，则*2TA B= .6.设A 是4阶矩阵，伴随矩阵*A 的特征值是--1,2,4,8，则矩阵A 的全部特征值是 .7.若向量组1(1,3,6,2)T α=，2(2,1,2,1)T α=-，3(1,1,,2)Ta α=--的秩为2，则a = .8.若矩阵111111t A t t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为正定的，则t 满足的条件为 .9.已知A 为3阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若 2A =，则*11()4A A --= .10.设A =110122114312121-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则0A x =的基础解系中所含向量的个数是 . 11.已知22021202x -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭与10000002y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则y = .12.矩阵112203112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为 .13.若矩阵111111t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为正定的，则t 满足的条件为 .14. 设21321,,,,ββααα 都是4维列向量,且4阶行列式,,3221121n m ==αβαααβαα 则4阶行列式()=+21123ββααα_______________15. 已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示则21,αα线性__________16.设A 是n m ⨯阶矩阵 ,,B 是s n ⨯阶矩阵,,()r A R =,且0=AB ,则()B R 的取值 范围是________________17.设A 是4⨯3矩阵,且A 的秩()2=A R 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301020201B 则()=AB R __________-18.设0是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a A 01020101的特征值,则=a _____________19.设2123222213212),,(x x x k kx x x x x f +++=是正定二次型, 则t 的取值区间为 20.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314120401A 对应的二次型是_______________21. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=44644325x A 相似于对角阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321,则=x22.设A 为3阶方阵,*A 为伴随矩阵,81=A ,则*1831AA -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=___________23.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=14523121x A 是不可逆矩阵,则=x ____________ 24. .________,___,04334221321111==-x xx x 的根方程25.().________)(,,2010,2101===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A R A 则矩阵设αββα26. 设A 、B 为4阶方阵，且2-=A ，3=B ，则_________1))((=-T AB27. .______,=A A 则相似于单位矩阵设28. A 是34⨯矩阵，其秩()A =1,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0030000108532001B , 则秩()BA = _____29.._________ ,0,11223112321==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=t Ax t A 则有非零解且方程组设30.设方阵A 有一特征值为λ，则 的特征值为 。