第十二章 微分方程1、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2"2'0,xy y y y x e -+==； 不是（2）12121212"()'0,xx xy y y y C e C e λλλλλλ-++==+；不是（3）2()"''2'0,ln().xy x y xy yy y y xy -++-==是2、给定一阶微分方程2dyx dx=， （1）求出它的通解；解：方程两端积分得通解为 2y x C =+ （2）求通过点（1，4）的特解；解：将14x y==带入通解解得 3C =,故所求特解为 23y x =+（3）求出与直线23y x =+相切的解；解：设切点为00(,)x y ，则有0002223x y x =⎧⎨=+⎩，解得0015x y =⎧⎨=⎩，带入通解解得4C =, 故所求特解为 24y x =+ （4）求出满足条件12ydx =⎰的解。

解：由1202x Cdx +=⎰ 得53C =, 故所求特解为 253y x =+ 3、 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1） 曲线在点(,)x y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方； 解：由已知得方程为2dyx dx= （2） 曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分。

解：由已知Q 点的坐标为(,0)x -, 所以 12'y x y =-，整理得方程为 '20y y x += 4、 求下列微分方程的解： （1）'ln 0xy y y -=；解：分离变量得ln dy dxy y x=，两端积分得 1ln ln ln ln y x C =+， 整理得cxy e =，1()C C =± （2）2''(')y xy a y y -=+； 解：分离变量得21dy dx ay x a =--，两端积分得 11ln 1x a C ay-=---+ 整理得1ln 1y a x a C=--+，1()C aC =-（3）231dy y dx xy x y+=+； 解：分离变量得221(1)ydy dxy x x =++， 两端积分得22111ln(1)ln ln(1)ln 22y x x C +=-++， 整理得222(1)(1)x y Cx ++=，21C C =，即22211Cx y x =-+ （4）230xydy e dx y++=；解：方程变形为 23y x dy e e dx y =-, 分离变量得 23xyydy e dx e=-， 两端积分得2311123y x e e C -=+，化简得 2312,(2)3y x e e C C C -=+= （5）2(1)0,1x y dx x dy y=++==。

解：分离变量得21dy dx y x =-+，两端积分得通解为 1ln 1x C y=++，将01x y ==带入通解得1C =，故所求特解为 1ln 11y x =++5、 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。

解：由已知的微分方程为2'3x y y x y =⎧=-⎪⎨⎪=⎩，方程的通解为Cy x=，将23x y == 带入通解得 6C =,故所求曲线方程为 6xy =。

6、 求下列齐次微分方程的解： （1）(ln ln )0x x y dy ydx --=； 解：方程可变形为ln dx x x dy y y = ，令x u y = ，则,dx dux uy u y dy dy ==+ 代入方程得 ln du u yu u dy +=，分离变量得(ln 1)du dyu u y=-， 两端积分化简得ln 1u Cy -=，将xu y=代入得通解为ln ln 1x y Cy -=+ 即1Cy x ye+=（或111,()C y y eC C -==-）（2）(12)2(1)0x x yyxe dx e dy y++-=； 解：方程可变形为122(1)x yx y dy e dx xe y+=-- ，令x u y = ，则,dx dux uy u y dy dy ==+ 代入方程得2(1)12u u du e u u y dy e -+=-+ ，分离变量得122u u e dy du e u y+=-+， 两端积分化简得(2)uy u e C +=，将x u y=代入得通解为2xy x ye C +=（3）1',2x x y y y y x==+=；解：令y u x =，则,'du y xu y u x dx ==+，代入方程得1du u x u dx u+=+ ， 分离变量得 dx udu x= ，两端积分整理得22ln u x C =+，即22()ln y x C x=+，将12x y ==代入得 4C =，故所求特解为2222ln 4y x x x =+（4）22(3)20,1x y x dy xydx y =-+==。

解：方程可变形为3122dx x y dy y x =-，令x u y = ，则,dx du x uy u y dy dy ==+ 代入方程得31122du u yu dy u +=- ，分离变量得221udu dyu y=- ， 两端积分整理得 21u Cy -=，将x u y=代入得通解为223x y Cy -=， 将01x y==代入得 1C =-，故所求特解为 322y y x =-7、 设有连接点(0,0)O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧»OA，对于»OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧»OA与直线段OP 所围成的面积为2x 。

求曲线弧»OA 的方程。

解：当01x <≤时，设方程为()y f x =，则201()()2xf t dt xf x x -=⎰，两端求导得1'()()4f x f x x-=- 且有初始条件 (1)1f = 解方程得 ()(14ln )f x x x =-，当0x =时，()0f x =且00lim ()lim (14ln )0x x f x x x ++→→=-= 所以»OA 的方程为 (14ln ),01()0,0x x x f x x -<≤⎧=⎨=⎩ 8、 求下列微分方程的解：（1）2'32xy y x x +=++； 解：方程变形为 12'3y y x x x+=++ ， 11222113[(3)]((32))232dx dx x x C e x e C x x dx C x x x x x-⎰⎰+++=+++=+++⎰⎰ ，故方程的通解为 213232Cy x x x=+++ （2）2(1)'2cos 0x y xy x -+-=； 解：方程变形为222cos '11x x y y x x +=-- ， 222211222cos 1sin ()(cos )111xxdxdx x x x x Cee C xdx C x x x ---+⎰⎰+=+=---⎰⎰ ，故方程的通解为 2sin 1x Cy x +=-（3）ln (ln )0y ydx x y dy +-=； 解：方程变形为11ln dx x dy y y y+= （以x 为未知函数的一阶线性微分方程） 2ln ln 11111111()(ln )[(ln )]ln ln 2dydyy yy y ee dy C ydy C y C y y y y -⎰⎰+=+=+⎰⎰， 故方程的通解为 212ln (ln ),(2)x y y C C C =+=（4）sin ,1x dy y x y dx x xπ=+==；解：11sin 11()(sin )(cos )dx dx x x x ee dx C xdx C C x x x x-⎰⎰+=+=-⎰⎰， 故通解为：1(cos )y C x x=-。

把1x yπ==代入，得1C π=-.所以特解为1(1cos )y x xπ=--。

（5）213231,0x dy x y y dx x =-+==；解：22332222322311113ln 3ln 31[]()()2x x dxdxxxxxxxx x eedx C e edx C x e e C --+---⎰⎰+=+=+⎰⎰，故通解为：221131()2xx y x e e C -=+。

把10x y==代入，得112C e -=-， 所以特解为211332x y x x e -=-（6）5dyy xy dx-=； 解：令4z y -=，则54dz dy y dx dx -=-，原方程可化为44dz z x dx+=-， 4441[(4)]4dx dx xz e x e dx C x Ce --⎰⎰=-+=-++⎰所以通解为44114x x Ce y -=-+ （另有一特解0y =）（7）2()dyx y dx=+; 解：令u x y =+，则方程可化为21du u dx =+，分离变量得21du dx u=+， 两端积分得 arctan u x C =+，故方程的通解为arctan()x y x C +=+ （8）'(ln ln )xy y y x y +=+。

解：令u xy =，则du dy y x dx dx =+，代入方程分离变量得ln dx dux u u=, 两端积分化简得Cxu e =，将u xy =代入得方程的通解为 Cxxy e=。

9、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2x y +。

解：由题意得微分方程 0'2,0x y x y y ==+=,'2y y x -=,(2)(2)(22)22dxdxx x x x x e xe dx C e xde C e xe e C x Ce π----⎰⎰+=-+=--+=--+⎰⎰,故通解为22xy x Ce =--+，把 00x y == 代入得 2C =，所以曲线方程为 222xy e x =--10、设曲线积分2()[2()]Lyf x dx xf x x dy +-⎰在左半平面0x >内与路径无关，其中()f x 可导且(1)1f =，求()f x 。

解：令2(,)(),(,)2()P x y yf x Q x y xf x x ==-，由已知P Qy x∂∂=∂∂， 即()2()2'()2f x f x xf x x =+-⇒12'()2()'()()1,2xf x x f x f x f x x=-⇒+= 1112222()()3dx dx x x f x e e dx C x Cx --⎰⎰=+=+⎰，将(1)1f =代入，得13C =，所以，1221()33f x x x -=+。