分式一分式的概念一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
一、分式的基本概念【例1】 在下列代数式中，哪些是分式哪些是整式1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx-，323a a a +【例2】 代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（ ） 个 个 个 个练习：下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .二、分式有意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件：⑴1x ⑵33x + ⑶2a b a b +-- ⑷21n m + ⑸22x y x y ++ ⑹2128x x -- ⑺293x x -+【例4】 ⑴x 为何值时，分式1111x++有意义 ⑵要使分式241312a a a -++没有意义，求a 的值.【例5】 x 为何值时，分式1122x ++有意义 x 为何值时，分式1122x x+-+有意义【例6】 若分式25011250x x-++有意义，则x ；若分式2501250x x-++无意义，则x ；【例7】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;练习：当x 有何值时，下列分式有意义1、（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-2、要使分式23xx -有意义，则x 须满足的条件为 ．3、若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对4、x 为何值时，分式29113x x-++有意义三、分式值为零的条件【例8】 当x 为何值时，下列分式的值为0⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++⑸2231x x x +-- ⑹2242x x x-+ （7）4|1|5+--x x （8）223(1)(2)x x x x --++【例9】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例10】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零练习：1、若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．2、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x （4）562522+--x x x（5）213x x -+（6）2656x x x --- （7）221634x x x -+-（8）288xx +（9）2225(5)x x --（10）(8)(1)1x x x -+-四、关于分式方程的增根与无解它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：【例11】解方程2344222+=---x x x x【例12】 解方程22321++-=+-xxx x ．【例13】 例3若方程32x x --=2mx-无解，则m=——．【例14】（1）当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根（2）若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解 练习：1、当k 为何值时，方程x x kx --=-133会出现增根2、已知分式方程3312x ax x +++=有增根，求a 的值。
3、分式方程x x m x xx -+-=+111有增根x =1，则m 的值为多少4、a 为何值时，关于x 的方程4121x x x ax x -+=+-()有解5、关于x 的方程3-x x -2=3-x m 有一个正数解，求m 的取值范围。
6、使分式方程x x m x --=-3232产生增根的m 的值为___________7、当m 为何值时，去分母解方程2x-2 ＋mxx 2-4＝0会产生增根。
8、若方程4412212--=--+x xx k x 会产生增根，则（ ） A 、2±=k B 、k=2 C 、k=－2 D 、k 为任何实数9、若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－210、已知关于x 的方程xmx x --=-323有负数解，求m 的取值范围。
11、当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-无实根分式二分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（M 不为0） 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=--【例15】 分式基本性质：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++= （4）()222x y x y x xy y +=--+【例16】 分子、分母的系数化为整数不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）b a b a +-04.003.02.0 （3）yx yx 5.008.02.003.0+-（4）b a ba 10141534.0-+练习：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例17】 分子、分母的首项的符号变为正号不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---练习：212a a ---； （2）322353a a a a -+---【例18】 未知数同时扩大或缩小相同的倍数1、若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化⑴x y x y +- ⑵xyx y- ⑶22x y x y -+2、若x ，y 的值都缩小为原来的，下列分式的值如何变化（1）y x y x 2332-+ （2）yx 54x y 2- （3）22x yx y -+练习:1．如果=3，则=（ ）A ．B ．xyC．4D．2．如果把的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值（ ）A ．不变B ．扩大50倍C．扩大10倍D．缩小到原来的3．若分式中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）A ．是原来的20倍B ．是原来的10倍C．是原来的D ．不变4．如果把分式中的x 和y 的值都缩小为原来的，那么分式的值（ ）A ．扩大3倍B ．缩小为原来的C ．缩小为原来的D ．不变5．如果把分式中的x 和y 都扩大为原来的4倍，那么分式的值（ ）A ．扩大为原来的4倍 B ．缩小为原来的 C ．扩大为原来的16倍D ．不变6．若把分式中的x 和y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A ． 扩大3倍B ．缩小3倍C．缩小6倍D．不变7．如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ）A 扩大5倍B 不变C 缩小5倍D 扩大4倍8、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A 、y x 23B 、223y xC 、y x 232D 、2323y x【例19】 直接通分化简1、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值. 3、若3,111--+=-ba ab b a b a 则的值是多少练习： 1、已知711=+y x ，求xyy x xyy x 52++-+ 2、已知111=-b a ，求bab a bab a ---+2232的值3、已知511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值．（8分） 4、已知：21=-x x ，求221x x +的值. 5、如果b a b a +=+111，则=+baa b .【例20】 先化简成x+x 1或xx 1-，再求值1、若0132=+-x x ，求x+x 1，x 2+21x, xx 1-的值.2、已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.3、已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值. 练习已知：21-=xx ，求12242++x x x 的值.【例21】 利用非负性求分数的值1、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.2、若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.练习：若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.若0136422=+-++b b a a ，求ba ba 533+-的值.【例22】 求待定字母的值1、若111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值.2、已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.练习：1、已知：222222yx y xy y x y x y x M --=+---，则M =______ ___． 2、若已知132112-+=-++x x x B x A （其中A 、B 为常数），则A=__________，B=__________；【例23】 较难分式化简求值)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x练习：【例24】 代数式值为整数1、当a 为何整数时，代数式24+a 的值是整数，并求出这个整数值.2、当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.练习：1、当a 为何整数时，代数式2-318a 的值是整数，并求出这个整数值.2、当a 为何整数时，代数式36519++a a 的值是整数，并求出这个整数值.分式三一.分式的意义及分式的值例题1、当x =3时，分式bx a x 352-+的值为0，而当x =2时，分式无意义，则求ab 的值时多少例题2、不论x 取何值，分式mx x +-212总有意义，求m 的取值范围。