P
A
0.5 m
C D
0.4 m 1m
B
20
40
解：C点的应力 σ C = E ε = 200 × 10 3 × 6 × 10 − 4
= 120M Pa
C截面的弯矩
M C = σ C W z = 640 N ⋅ m
由 M C = 0.5 R A = 0.5 × 0.4 P = 0.2 P = 640 N ⋅ m 得 P = 3.2kN
度减小一半时，从正应力强度条件考虑， 该梁的承载能力将是原来的多少倍？ 解： 由公式
σ max
M max M max = = 2 Wz bh 6
可以看出：该梁的承载能力将是原来的2 可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD AB，跨度为l 采用加副梁CD
的方法提高承载能力， 的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料 相同，截面尺寸相同， 相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？ 为多少？
2 2
2
bh b( d − b ) Wz = = 6 6
2 2 2
∂ Wz d 2 b 2 = − =0 ∂b 6 2
d 由此得 b = 3
d
2 2
h
h = d −b =
h = 2 ≈3:2 b
2 d 3
b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、 12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示 已知材料许用拉、 的铸铁梁受力如图示,
10 kN / m
200 2m 4m 100
10 kN / m
200
2m
Fs( kN ) 25 Fs(
45 kN
4m
100
15kN 解：由弯矩图可见 M max = 20 kN ⋅ m
20 M ( kN ⋅ m)
15 σ + = M max = 20 × 10 max 2 Wz . 01 × 0.2 11.25 6 = 30MPa < [σ ]
A
C
a 2 l 2
P a
2
l 2
D
B
解：
主梁AB 主梁AB
A
P 2
P 2
B
M
L−a 2
M max AB =
P (l − a ) 4
L−a 2
P
副梁CD 副梁CD
C a M
D
M max CD =
Pa 4
P 主梁AB的最大弯矩 主梁AB的最大弯矩 M max AB = (l − a ) 4 Pa 副梁CD的最大弯矩 副梁CD的最大弯矩 M max CD = 4
ql MC = = 45kN ⋅ m 8
2
A
C
15 m .
15 m .
例10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长 10：图示木梁，
为 10 mm，E=10GPa，求载荷 P 的大小。 mm，E=10GPa 的大小。
P A
300 B 200
C
2m
2m
l /2
l /2
解：
∆ AC =
l /2
∫ ε ( x) ⋅ d x
F ≤ 24.6kN
+ σ B max
F ≤ 19.2kN = [ F ]
F × 2m × 0.086m = 2 ≤ 30 ×106 Pa 5493 ×10−8 m4
2、工字形截面梁的剪应力
在腹板上：
翼缘
b
腹板
y
h H
B
3、圆截面梁的剪应力
FS
z
最大剪应力：
τ max
y
4 FS = 3 A
例15：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 ：圆形截面梁受力如图所示。
第六章
圆环：
y
复 习
I y = I z = I z 大 − I z小 =
π D4
64 64 4 πD = (1 − α 4 ) 64
其中
−
πd4
d D
z
α
=
d D
bh IZ = 12
IZ =
3
bh WZ = 6
2
h
Z
b
πd
4
64
4
WZ =
4
πd
3பைடு நூலகம்
d
32
4
Z
IZ =
π (D − d )
64
=
4
πD
64
σ max
M y max M = = IZ WZ
Wz: 抗弯截面模量 Wz:
例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试 图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，
求当最大正应力为最小时的支座位置。 求当最大正应力为最小时的支座位置。
q
解：作弯矩图
a
支座位置α 支座位置α直接影响支座截面和跨 中截面上的弯矩值。当中性轴为截 面的对称轴，最大拉、压应力相等 时，只有支座处截面与跨中截面之 弯矩的绝对值相等，才能使该梁的 最大弯矩的绝对值为最小，从而使 其最大正应力为最小。
F A C b b B b D 180 134
q=F
120
b
40 86
z
解:求出中性轴位置 作弯矩图
Fb/4 Fb/4 20
y
20
⊕
+ σ C max
分析可知，不论截面B或截面C 分析可知，不论截面B或截面C，梁的强度 均由最大拉应力控制
Fb/2 Fb/2 F × 2m × 0.134m = 4 ≤ 30 ×106 Pa 5493 ×10−8 m 4
许用应力［ ］ MPa，［ ，［τ］ MPa， 许用应力［σ］=160MPa，［ ］=100MPa， 试求最小直径 dmin。
q = 20 kN / m
A
解:
跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大
4m
B
d
FS max = 40kN,
σ m ax =
M m ax ≤ [σ ] Wz
M max
即
A1 = 72cm 2
A2 ≈ 100cm 2
(2)圆形 (2)圆形 (3)工字形 (3)工字形
π d3
查型钢表，取16号工字钢 查型钢表，取16号工字钢
Wz = 141cm3 A3 = 26.1cm2
例14：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载 14：一槽形截面铸铁梁， [F ] 已知b=2m 已知b=2m , [σ + ] = 30MPa [σ − ] = 90MPa I z = 5493 ×104 mm4
y2 = 210m m
P=80kN A 1m 2m B
y2
y1
δ
220
z
60 220
24 × 2203 220 × 603 2 Iz = + 24 × 220 × (210 − 110) + + 220 × 60 × (70 − 30) 2 12 12 Pl 80 × 2 6 4 −6 4 M max = = = 40kN ⋅ m ≈ 99.3 ×10 mm = 99.3 ×10 m 4 4
9 kN
C
z
4 kN 52 B A C D 88 1m 1m 1m 2.5kN 10.5kN M ( kN ⋅ m) + σ C m ax C截面： 截面： 2.5
σ
− C m ax
9 kN
C
z
2 .5 × 8 8 = = 2 8 .8 M P a Iz
4
满足强度要求
本题
− σ C max
2 .5 × 5 2 = = 1 7 .0 M P a Iz
Wz ≥
M max = P ⋅ l = 20kN ⋅ m
σ max
由强度条件
l = 1m
(1)矩形 (1)矩形
M max
[σ ]
20 ×103 3 = m ≈ 143cm3 140 × 106
b=6cm h=12cm d≈11.3cm
M max = ≤ [σ ] Wz
P ⋅l
bh 2 Wz = 6
Wz = 32
3
20
该梁满足强度条件，安全
例7：图示铸铁梁，许用拉应力[σ+ ]=30MPa， 图示铸铁梁，许用拉应力[σ ]=30MPa
许用压应力[σ ]=60MPa 许用压应力[σ- ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4， 7.63× 试校核此梁的强度。 试校核此梁的强度。
A
4 kN 52 B C D 88 1m 1m 1m
4 × 52 = = 27 .3 M P a Iz
σ B截面： 截面：
+ B m ax
可不必计算
σ
− B m ax
为什么？
4 × 88 = = 4 6 .1 M P a Iz
例8：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应 简支梁AB，
变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性 变片，测得其应变ε= 200GPa 求载荷P的大小。 模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
220 220 ⋅ δ ⋅ (60 + ) + 60 ⋅ 220 ⋅ 30 2 y1 = = 70mm 220 ⋅ δ + 60 ⋅ 220
δ =24mm
σ
+ max
还需校核最大工作压应力吗？ 梁满足强度要求
M max ⋅ y1 = ≈ 28.3MPa Iz
＜
[σ + ] = 30MPa
例13:图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P 13:图示悬臂梁在自由端受集中力作用,
压应力分别为
[σ + ] = 30MPa 和 [σ − ] = 90MPa