3 ,判 2
1 +a 4 证明不等式
2
≤ 1,
即 a2 + 1 ≥4, 故 a ≥ 3或 a ≤ - 3.
1 + 2 1 ≤2. 2 1 , 2 1 在直线 2
例 4 在 △AB C 中 , cosA + cosB + cosC = 断 △AB C 的形状 . 解 由已知得
co sA + co sB - co s (A + B ) 3 = 0, 2 3 = 0. 2
抛 物 线 综 合 题 中 的 参 量 转 化
● 刘光锐 王志强 山东武城县第二中学
在解析几何问题中 , 参量的设置与消去是一个 成功解决问题的关键 , 同时也是一个被重点研究的 问题 , 是考查的热点 . 由于抛物线独特的方程形式及 性质 , 使得抛物线综合题中的量值转化具有明显的 抛物线特色 . 笔者抛砖引玉 , 作以下分析概括 .
・14・
B∈
中学教研 (数学 ) 2006 年第 9 期 由锐角 △AB C 知 ∠B = △AB C 为正三角形 .
3 求参数范围
π ,π , 求 ∠B 的值 . 4 解 由已知得
π π , 同 理 ∠A = ,故 3 3
( sinB + cosB ) cosA + ( 1 + cosB - sinB ) sinA - 3 = 0,
a3 , 则 a1 , a2 , a3 , b 四个元素进行排列 , 共有 A 4 = 24
4
种 ( b排在第 1 个位置 、 第 2 个位置 、 第 3 个位置 、 最 ) 后位置的各有 A 3 = 6 种 . 3 ⑵ 再把不同的元素看成相同的元素 , 那么 b 排 在第 1 个位置只能算 1 种 , 排在第 2, 3, 4 个位置也 都只能算 1 种 . 也就是每种方法都重复了 A 3 3 = 6次 , 所以答案是
1 + 2
cos α +
2
1 ≤2, 2
≤ 1,
当且仅当 sin2α = cos2α = 时 , 等号成立 .
π π 1 k ( k ∈ Z) ,即 α = + 2 2 4
整理得 ( cosB -
1 2 1 ) ≤0 ] cosB = . 2 2
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答略 . “ 多重集全排列 ” 在排列组合 、 概率中用以解决 一些含有相同元素的排列问题有着广泛的应用 .
例 2 在原点处有一个质点 , 每一秒等概率地
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点 ( cosA, sinA ) 在直线
( sinB + cosB ) x + ( 1 + cosB - sinB ) y - 3 = 0
例 5 如果关于 x 的方程 sin x + a cosx = 2 恒有 解 , 求实数 a 的范围 . 解 点 ( sinx, cosx ) 在直线 x + ay - 2 = 0 及圆
图 1
是问题得证的关键 . 问题变 式 如 图 2, 设 p > 0 是 一 常 数 , 过 点
13 4 8 解 ⑴ = C = 1287 (种 ) . 84 5 4 13
所以 , 该质点又恰好回到原点的概率
P1 = ( 20 + 180 + 180 + 20 )
1 4
6
=
25 . 256
⑵1287 答略 .
13 4 5 4 ・ = 1287 - 70 = 1217 (种 ) . 84 54 34 24
64 = 180 种不同的方法 ; 24 24 64 = 20种不同 34 34
例 1 ⑴ 如图 1, 在 A 点处有一蚂蚁要经过格 架到 B 点 去 , 并且它只会向 右或向上爬 行 ,问该蚂蚁 有多少种不同 的爬行方法 ? ⑵爬 行 方 法同 ⑴, C 点处 图 1 断开 , 有多少种不同的爬行方法 ? 分析 从 A 点去 B 点 , 一共有 13 格 , 8 格向右 ,
3|
x + y =1 上 , 所以
2 2
及圆 x + y = 1 上 , 所以
| 0 +0 ( sinB + co sB ) 2 + ( 1 + co sB - sinB ) 2
2
2
≤ 1,
| 0 +0 - 2 |
π ,π , 所以 cosB = sinB , 得 cosB ≥ sinB , 又 ∠B ∈ 4 故 ∠B = π . 4
A4 A3
3 4
= 4种.
2006 年第 9 期 中学教研 (数学 )
・1 5 ・
由此推至一般 , 设多重集 S = { n1 ・ e1 , n2 ・ e2 , …, nk ・ek } , 令 an 为 S 的全排列数 , 则
an = ( n1 + n2 + … + nk ) 4 . n1 4 n2 4 …nk 4
例 6 求证 证明 令
u =
α +
2
sin α +
2
2
1 + 2 1 , 2
co s α + cos α +
2
2
则 u > 0, 点
2
sin α +
2
即
( 1 - cosB ) cosA - sinB sinA + cosB -
x +y - u =0 及圆 x + y = 2 上 , 所以 | 0 +0 - u |
“ 多重集全排列 ” 在排列组合 、 概率中的应用
● 郁中华 江苏包场高级中学
引例 a, a, a, b 这 4 个字母用列举法 , 得到不 同的排列方法有以下 4 种 : ① b, a, a, a; ② a, b, a, a; ③a, a, b, a; ④a, a, a, b. 也可以分两个步骤来解决这 个问题 : ⑴ 把相同的元素 a 暂且看作不同的元素 a1 , a2 ,
1 挖掘定值 y1 y2 , x1 x2
点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点 , 点 C 在抛物线的 准线上 , 且 B C ∥x 轴 . 证明 :直线 AC 经过原点 O.
( 2001 全国高考试题 )
分析 要 证 直 线 AC 经 过 原 点 O, 只 要 证 明 :
( 1 ) kOA = kOC ; ( 2 ) 原 点 坐 标 满 足 直 线 AC 的 方 程 ; ( 3 ) 向量 OA ∥OC . 其 中 之 一 成 立 即 可 . 由 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 知 C p
5 格向上 , 相当于二重集 S = { 8 ・ 右 , 5・ 上 }的全排
⑶ 左、 右各移动 1 次 , 上 、 下各移动 2 次 , 共有
64 = 180 种不同的方法 ; 24 24
⑷ 上、 下各移动 3 次 , 共有 法.
64 = 20 种不同的方 34 34
列 . 第二小题用“ 排除法 ” 解决 .
点 ( cosA, sinA ) 在直线
3 ( 1 - cosB ) x - y sinB + cosB =0 2
2
≤ 2 ] | u | ≤ 2,
故 u ≤2, 即
sin α +
2
及圆 x2 + y2 = 1 上 , 所以
3 0 - 0 + co sB 2
( 1 - co sB ) 2 + sin2 B
→ →
在课本习题中 , 我们获知过焦 点的直线与抛物线两交点之横 、 纵 坐标乘积为定值 , 它将成为某些问 题获解的关键 . 典型例题 如图 1, 设抛物线
y = 2 px ( p > 0 ) 的焦点为 F, 经过
2
-
p
2
, y2
, 则只要证明 : x1 y2 +
2
2
y1 = 0, 因点 A 在抛物线上 , 即证明 y1 y2 = - p , 这
向左或右 、 上或下移动一个单位 , 则 6 秒后该质点又 恰好回到原点的概率是多少 ? 分析 6 秒后该质点又恰好回到原点 , 说明该 质点左 、 右移动的单位相等 , 上 、 下移动的单位也相 等. 解 ⑴ 左、 右各移动 3 次 , 共有 的方法 ; ⑵ 左、 右各移动 2 次 , 上 、 下各移动 1 次 , 共有