压轴题14 动力学中的临界和极值问题一、单选题1.如图所示，质量为m的物块放在质量为M的薄木板的右端，木板放在光滑的水平地面上，物块与薄木板间的动摩擦因数为μ.现对木板施加一水平向右的恒力F，木板从静止开始运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.下列说法正确的是()A. 当F<μmg时，物块相对地面静止B. 当F=μmg时，物块相对木板滑动C. 当F>μmg时，物块相对木板滑动D. 当F>μ(m+M)g时，物块的加速度与恒力F无关【答案】D【解析】A、水平地面是光滑的，当F作用在木板上时木板向右运动，物块相对地面向右运动，故A错误；B、当物块刚相对木板滑动时，对物块有μmg=ma，a=μg.对整体有F=(M+m)a=μ(M+m)g，因此当F=μmg时，物块相对木板静止，故B错误；C、只有当F>μ(m+M)g时，物块才相对木板滑动，故C错误；D、当F>μ(m+M)g时，物块相对木板滑动，对物块有μmg=ma，a=μg，与F无关，故D正确。

故选：D。

2.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m A、m B的A，B两个物体，A，B间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现用水平拉力F拉A，使A，B一起加速运动，拉力F的最大值是A. μm B gB. μ(m A+m B)gC. μm B(m A+m B)gm A D. μm A(m A+m B)gm B【答案】B【解析】当AB间的静摩擦力达到最大时拉力F达到最大，根据牛顿第二定律可知对B物体：μm B g=m B a，解得：a=μg；对整体：F=(m A+m B)a，解得：F=μ(m A+m B)g，拉力F只要小于最大值两物体即可以相对静止，一起以同一加速度运动；故B正确，故ACD错误。

故选B。

3.如图所示，长方体物块A叠放在长方体物块B上，B置于粗糙水平面上。

A、B质量分别为m A=2kg，m B=1kg，A、B之间动摩擦因数μ1=0.2，B与地面之间动摩擦因数μ2=0.1，现对A施加水平力F，若F从0开始逐渐增大，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则()A. 当拉力超过3N时，A、B开始发生相对滑动B. 当拉力超过4N时，A、B开始发生相对滑动C. 当拉力超过5N时，B的加速度为1m/s2D. 当拉力超过6N时，A、B开始发生相对滑动【答案】D【解析】对AB整体，B与地面间的摩擦力：f2=μ2(m A+m B)g=3N，当拉力小于3N时，A、B相对地面都静止，当AB间摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B间发生相对滑动，f1=μ1m A g=4N，对B，由牛顿第二定律得：a B=f1−f2m B=1m/s2.对系统，由牛顿第二定律得：F−f2=(m A+m B)a B，F=6N，当拉力超过6 N时，A、B开始发生相对滑动，故ABC错误，D正确；故选D．4.光滑的水平面上叠放有质量分别为m和m/2的两个木块．下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示．已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为A. f/kB. 2f/kC. 3f/kD. 4f/k【答案】C【解析】物体做简谐运动，取整体为研究对象，是由弹簧的弹力充当回复力。

取上面的小物块为研究对象，则是由静摩擦力充当回复力。

当两物体间的摩擦力达到最大静摩力时，两物体达到了简谐运动的最大振幅。

又因为两个物体具有共同的加速度，根据牛顿第二定律对小物体有f=12ma，取整体有kx=(12m+m)a，两式联立可得x=3fk，故C正确，ABD错误。

故选C。

二、多选题5.(多选)如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h 处由静止释放．某同学在研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，作出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g.以下判断正确的是()A. 当x=ℎ+2x0时，小球的动能最小B. 最低点的坐标：x=ℎ+2x0C. 当x=ℎ+2x0时，小球的加速度为−g，且弹力为2mgD. 小球动能的最大值为mgℎ+mgx02【答案】CD【解析】AB.由图乙可知mg=kx0，解得x0=mgk，由F−x图线与横轴所围图形的面积表示弹力所做的功，则有W弹=12k(x−ℎ)2，由动能定理得mgx−12k(x−ℎ)2=0，即mgx−mg2x0(x−ℎ)2=0，解得x=ℎ+x(1+√1+2ℎx0)，故最低点坐标不是ℎ+2x0，且此处动能不是最小，故AB错误；C.由图可知，mg=kx0，由对称性可知当x=ℎ+2x0时，小球加速度为−g，且弹力为2mg，故C正确；D.小球在x=ℎ+x0处时，动能有最大值，根据动能定理有mg(ℎ+x0)+W弹=E km−0，依题可得W弹=−12mgx0，所以E km=mgℎ+12mgx0，故D正确。

6.一长轻质木板置于光滑水平地面上，木板上放质量分别为m A=1kg和m B=2kg的A、B两物块，A，B 与木板之间的动摩擦因素都为μ=0.2，水平恒力F作用在A物块上，如图所示(重力加速度g取10m/s2).则()A. 若F=1N，则物块、木板都静止不动B. 若F=1.5N，则A物块所受摩擦力大小为1.5NC. 若F =4 N ，则B 物块所受摩擦力大小为2 ND. 若F =8 N ，则B 物块的加速度为1m/s 2 【答案】CD【解析】A 与木板间的最大静摩擦力：f A =μm A g =0.2×1×10N =2N ，B 与木板间的最大静摩擦力：f B =μm B g =0.2×2×10N =4N ；当A 刚好在木板上滑动，B 和木板整体受到摩擦力2N ，轻质木板，质量不计，所以B 的加速度a =22 m/s 2=1m/s 2；此时对整体：F 0=(m A +m B )a =(1+2)×1N =3N 。

A.因水平面光滑，且F =1N <F 0=3N ，所以物块与木板相对静止，一起向右加速，故A 错误； B.因水平面光滑，且F =1.5N <F 0=3N ，所以物块与木板相对静止，一起向右加速，对整体有：F =(m A +m B )a ，解得：a =0.5m/s 2，对木板和B 分析有：f =m B a =1N ，故B 错误；C.因水平面光滑，且F =4N >F 0=3N ，所以物块与木板相对滑动，此时木板受到A 给的摩擦力为f A =2N <f B =4N ，所以B 与木板相对静止，所以B 物块所受摩擦力大小为2N ，故C 正确；D.因水平面光滑，且F =8N >F 0=3N ，所以物块与木板相对滑动，B 和木板整体受到摩擦力2N ，则有：f A =m B a B ，解得B 的加速度aB =1m/s 2，故D 正确。

故选CD 。

7.如下图所示，小车板面上的物体质量为m =8kg ，它被一根水平方向上拉伸了的弹簧拉住而静止在小车上，这时弹簧的弹力为现沿水平向右的方向对小车施以作用力，使小车由静止开始运动起来，运动中加速度由零逐渐增大到1ms 2，随即以1m s 2的加速度做匀加速直线运动下列说法中正确的是( )A. 物体与小车始终保持相对静止，弹簧对物体的作用力始终没有发生变化B. 物体受到的摩擦力先减小、后增大，先向左、后向右C. 当小车加速度向右为0.75m s 2时，物体不受摩擦力作用D. 小车以1ms 2的加速度向右做匀加速直线运动时，物体受到的摩擦力为8N 【答案】AC【解析】物体静止不动时，水平方向弹力和向左的静摩擦力二力平衡，有f 静=F 弹=6N 物体随小车一起向右加速，当静摩擦力为零时，有F 弹=ma 1，解得：a 1=0.75m/s 2 当静摩擦力向右时，且达到6N 时，有F 弹+f =ma 2，解得：a 2=1.5m/s 2由于1m/s 2<1.5m/s 2，故物体与小车始终保持相对静止，弹簧伸长量不变，故弹力不变由于0.75m/s 2<1m/s 2<1.5m/s 2，故物体受静摩擦力先向左，减小到零后方向增加，且当小车向右的加速度为0.75m/s 2时，物体不受摩擦力作用，当小车以1m/s 2的加速度向右做匀加速直线运动时，静摩擦力向右，由于F 弹+f =ma ，解得f =2N ，故 AC 正确，BD 错误。

故选AC 。

8.如图所示，质量均为m 的两个小球A 、B 套在光滑水平直杆P 上，整个直杆被固定在竖直转轴上，并保持水平，两球间用劲度系数为k ，自然长度为L 的轻质弹簧连接在一起，A 球被轻质细绳拴在竖直转轴上，细绳长度也为L ，现欲使横杆AB 随竖直转轴一起在水平面内匀速转动，其角速度为ω，求当弹簧长度稳定后，细绳的拉力和弹簧的总长度各为多大？A. 细绳的拉力为3mω2LB. 弹簧总长度为k+mω2k−mω2LC. 细绳的拉力为mω2L(1+2k k−mω2)D. 弹簧总长度为L +2mω2L k【答案】BC【解析】设直杆匀速转动时，弹簧伸长量为x ， 对A 球有：F T −F =Mω2L ，对B 球有：F =mω2(2L +x) ，F =Kx ，解以上方程组可得：F T =Mω2L +2mω2KL K−mω2，x =2mω2L K−mω2则弹簧的总长为：L′=L +2mω2L K−mω2=K+mω2K−mω2L ，故BC 正确，AD 错误。

故选BC 。

三、计算题9.如图所示，倾角θ=37°的斜面体固定在水平地面上，斜面长L =2.4m.质量M =2.0kg 的B 物体放在斜面底端，与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，通过轻细绳跨过光滑的定滑轮与A 物体相连接，连接B 的细绳与斜面平行．A 的质量m =2.5kg ，绳拉直时用手托住A 物体使其在距地面h 高处由静止释放，着地后立即停止运动．A 、B 物体均可视为质点，取g =10m/s 2，sin37º=0.6，cos37º=0.8． (1)求A 物体下落的加速度大小及绳子拉力T 的大小；(2)求当A 物体从多高处静止释放，B 物体恰好运动至斜面最高点；(3)若A 物体从ℎ1=1.6m 处静止释放，要使B 物体向上运动且不从斜面顶端滑出，求A 物体质量m 的取值范围．(设B 物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)【答案】解：(1)根据牛顿第二运动定律对A有：mg−T=ma对B有：T−Mgsinθ−μMgcosθ=Ma代入数据解得：a=2m/s2绳子拉力大小：T=20N(2)设物体A着地时B的速度为v，A着地后B做匀减速运动的加速度大小为a1对B有：Mgsinθ+μMgcosθ=Ma1代入数据解得：a1=8m/s2对B由运动学公式得：着地前v2=2aℎ着地后v2=2a1(L−ℎ)代入数据解得：ℎ=1.92m(3)设A着地后B向上滑行距离xv2=2a1x x≤L−ℎ1着地前v2=2aℎ1代入数据解得：m≤4kg另一方面要能拉动必须有：mg>Mgsinθ+μMgcosθ解得m>1.6kg所以物体A的质量范围是1.6kg<m<4kg【解析】(1)分别对A、B根据牛顿第二定律列式，联立求解；(2)A着地后B做匀减速运动，根据牛顿第二定律求解加速度，A着地前和着地后，根据运动学公式列式求解；(3)A着地后，由运动学公式及质量关系得解。