利用代数求解最值问题1、问题提出：（1）如图1，点B 、C 在O 上且BC=2，过点O 作OE ⊥BC ，交BC 于点A ，交O 于点E ，连接BE 、CE ，若∠CBE =30°,则线段AE 的长度为_____________问题探究：（2）如图2，在ABC 中，BC=2，∠BAC=45°，求边AC 长度的最大值: 问题解决：（3）如图3，某城市拟在河流m 、n 所夹半岛区城建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥AB 、AD 、CD 和绿化带BC 四部分构成，其中B 、C 两定点间的距离为2000米，根据规划要求，A 、D 两点间的距离为600米，A 、D 两点到直线BC 的距离相等，AD 的中点E 到BC 的距离比点A 到BC 的距离多1003米。

若修建时需保证∠B 与∠C 的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由. (结果保留π)图1 图2 图32、问题探究：（1）如图1，平行四边形ABCD ，∠ABC ＝60°，AB ＝3，BC ＝5，M 、N 分别为AD 、DC 上的点，且DM +DN ＝4，则四边形BMDN 的面积最大值是 ． （2）如图2，∠ACB ＝90°，且AC +BC ＝4，连接AB ，则△ABC 的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决EDC AO E C BBAB Cmn（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．3、如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD．AB＝5，AD＝6，∠A＝60°，在AD边上确定一点E，使得∠BEC＝60°，则AE＝（）A．4−√6B．6﹣2√3C．5−√13D．3√324、【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，若AP=2，PC=2DP，则BC=____________（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=10，AD=13，点E在线段BC上且BE=6，连接DE，作DE⊥EF，交AB于点F，则四边形ADEF的面积为___________【问题解决】（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，四边形ABCD中，AB=4厘米，点C到AB的距离为5厘米，∠C=90°，且BC=2CD，在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元，请问一个这种四边形金属部件的造价最低是多少元？图1 图2 图35、如图，已知30MAN ∠=，点P 为MAN ∠内部一点，PEF 为等边三角形，点F 落在AM 上，点E 落在AN 上，过点P 做PC AN ⊥于点C ，PD AM ⊥于点D ，设PC 的长为x ，PEF 的面积为y ，若43AC =y 与x 之间的函数关系式；6、如图，等腰Rt △DEF 的三个顶点分别在等边△ABC 的三条边上，∠EDF=90°，已知AB=3√3+3，则△DEF 面积的最小值是_____________C DCB A D CFM NAP EFCABED7、问题提出（1）如图1，已知三角形ABC ，请在BC 边上确定一点D ，使得AD 的值最小． 问题探究（2）如图2，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是AC 边上一动点，分别过点A ，点C 作线段BP 所在直线的垂线，垂足为点D ，E ，若AB ＝5，BC ＝6，求线段BP 的取值范围，并求AD +CE 的最大值．问题解决（3）如图3，正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E 、F 之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为BB ′、CC ′、DD ′．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和（BB ′+CC ′+DD ′）最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．8、（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边分别是_____，_______时，直角三角形的面积最大；（2）问题解决：如图，在一个t R EFG 的内部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上，BC 在斜边上，EF=30cm ，FG=40cm ，矩形面积最大是多少？（3）问题拓展：如图，矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=30cm ，点E 是AD 边上的动点（点E 与A,D 两点不重合），连接BE 、CE ，点F 是BC 边上的动点，过F 作FG ∥CE 交BE 于点G ，求三角形EFG 面积的最大值。

BCEGFGCB9、如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 为AB 边的中点，BC=3，cosB=13，△DBC 沿着CD 翻折，点B 落到点E ，那么AE 的长为____________10、定义：两组邻边分别相等的四边形叫做等形. 问题发现：（1）如图①，筝形ABCD 中，AD=CD ，AB=CB ，若AC+BD= 12，求筝形ABCD 的面积的最大值； 问题解决：（2）如图2是一块矩形铁片ABCD ，其中AB=60厘米，BC=90厘米，李师傅想从这块铁片中裁出一个筝形EFGH ，要求点E 是AB 边的中点，点F 、G 、H 分别在BC 、CD 、AD 上(含端点)，是否存在一种裁剪方案，使得筝形EFGH 的面积最大？若存在，求出筝形EFGH 的面积最大值，若不存在，请说明理由.11、如图，某木材加工厂有一块巨大的板材，其平面形状为矩形ABCD ，该板材的长AD 为EDACEDAC CB B DB E DB10m ，宽AB 为7m ，工人师傅需要将矩形板材进行切割，要求切割出一个内接于矩形ABCD 的四边形BEDF ，且满足点E 在AD 边上，点F 在CD 边上，其中点E 、F 不与矩形ABCD 的顶点重合.（1）在图中用尺规作图法画出四边形BEDF ，连接EF ，要求BF=EF. (保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接AF.①比较△ABF 与△BEF 的面积大小，并说明理由;②设AE=x(m)，四边形BEDF 的面积为y(m 2),求出y 与x 之间的函数关系式，并写出AE 可以满足题意的长度范围12、问题提出:(1)如图①，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB= 6，则菱形ABCD 的面积为_______ 问题探究:(2)如图②，在四边形ABCD 中，AD=CD ，∠ABC=∠ADC=90°，连接BD ，若BD=m ，求AB+ BC 的值(用含m 的代数式表示)， 问题解决:(3)某新建小区为绿化、美化小区环境，提升居民幸福感，物业计划在小区广场中央部分空地处种植郁金香和草坪.根据现场考察，设计师给出如下方案：如图③，在四边形ABCD 区域种植郁金香，其中∠DAB= 60°,∠BCD= 30°,AB= AD,在边BC 、CD 上全部安装LED 灯带，总长20米(即BC+CD= 20米)，在以AC 为直径的圆形(除四边形ABCD 外)区域内种植草坪，已知种植郁金香的费用为每平方米120元，草坪每平方米50元，请问按照该方案种植，种植郁金香和草坪至少需要花费多少元? (结果保留整数)13、如图，在矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=√3cm ，动点P 在边AB 上从点A 向点B 运动，速度为1cm/s ，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且∠PQD=60° ,连接PD, BD ，设点P 的运动时间为x(s)，△DPQ 与△DBC 重合部分图形的面积为y (cm 2).BABCC ABDDDC（1）当x=_________s 时，点Q 与点C 重合；（2）①求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围; .②在点P 的运动过程中，是否存在y 的最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明 理由。

14、（1）如图，在□ABCD 中，AB=3√2，BC=12，∠B=45°，点E 在AD 上，点F 在BC 上，若EF 平分□ABCD 的面积，且AE=3，EP 的长为_________（2）张明家要新建一个如图所示的四边形ABCD 鸡舍，其中AB 、AD 是利用原有的夹角为60°两面土胚墙AM 、AN ，BC 是利用旧鸡舍拆下来的的隔温板材墙面，设计安求AB//CD 且CD=2AB ，∠MAN=60°，AM=AN=8米，BC=12 米，现在张明的爸爸想要AM 、AN 两面士胚墙利用率最大，即AB+AD 最长，并且同时能使得围成的鸡舍面积达到最大，他的想法是否能够实现？如果能实现，请求出AB+AD 的最大值，开求此时新建鸡舍的面积；如果不能实现，请说明理由。

问题提出 （1）如图①，在Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 是∠ABC 的平分线，AB=5，BC=13，求△BCD的面积. 问题解决（2）如图②，是某公园内一块绿地的平面示意图，其形状为四边形ABCD ，∠ABC=60°，BD 其一条长200米的健身步道，且BD 是∠ABC 的平分线，∠BAD= ∠BDC=90°，为了增加花卉的种植面积，规划在BD 上找点P ，在BC 上找点Q ，沿线段AP 、PQ 修建两条健身步道，将四边形 ABCD 分成四个区域，其中阴影区域将种植花卉，若∠APQ=120°，设BP 的长为x(米)，种植花卉区域的面积为y (平方米) . ①求y 与x 之间的函数关系式；②试求当新修建的健身步道总长度(AP+PQ)最小时，种植花卉区域的面积.BC B C NB CAMCEDD P。