学科知识融合交汇处 缔结向量物理新空间
——平面向量在物理方面的五类应用
平面向量是联系“数”与“形”的桥梁和纽带，它不仅是解决数学问题的有力工具，也是物理学中破解有关“数与形”物理问题的有效工具，数学与物理学科知识的融合交汇处，可缔结出向量与物理的新空间.通过平面向量这一工具一般可化解物理学中的“力的合成、功的求解、速度合成、船的航行、物体稳定”等五类问题，下面就平面向量在这五个方面的应用进行举例分析：
一、力的合成问题
例1、两个大小相等的共点力12
,F F ，当它们间夹角为0
90时，合力的大小为20N ，则当它们的夹角为0
120时，合力的大小为（ ）
A 、40N B
、 C
、 D
分析：力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则
求出新的合力.
解析：对于两个大小相等的共点力12
,F F ，当它们间夹角为0
90时，合力的大小为20N
时，这二个力的大小都是N ，对于它们的夹角为0
120时，由三角形法则，可知力的合
成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N. 正确答案为B.
点评：力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，
关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是1F =
，这样
就会错选答案D.
类题练习1：已知作用在()1,1A 点的三个力123(3,4),(2,5),(3,1),F F F ==-=
则合力123F F F F =++
的终点坐标是（ ）
A 、()9,1
B 、()1,9
C 、()9,0
D 、()0,9
解析：对于力的合成问题用坐标法，实际是相量的加法问题，因此123F F F F =++
的终
点坐标是()323,451(8,0),(9,1)AF F =++-+=∴=
,因此选A.
二、功的求解问题
例2、一个物体受到同一平面内的三个力123
,,F F F 的作用，沿北偏东0
45的方向移动8m ，其中，12F N = ，方向为北偏东030，24F N = ，方向为东偏北0
30，36F N = ，
方向为西偏北0
60，则合力所作的功是
分析：这是一个物理中的功的求解问题，对于功的求解一般是用向量的点积，但点积的运算有向量法和坐标法两种，对于易建立坐标系的情况还是用坐标法求解为好.
解析：对于题意建立平面直角坐标如图所示，根据图示求出各处力的向量坐标可
得：12(1F F ==
3(F =-
因此合
力2,2F =+
，
而(,42
S = ，这样其所做的功为W F S =⋅=
(
=，即合
O
x
y
1F 2F
3F
力所做的功为.
点评：对于功的求解要注意力用坐标，位移也可用坐标表示，然后用坐标法求向量的点积，然后求出合力所做的功.
类题练2：已知一物体在共点力12(2,2),(3,1),F F ==
的作用下产生位移
13(,)22
s = ，则共点力对物体所做的功为（ ）
A 、4
B 、3
C 、7
D 、2
解析：对于合力()5,3F =
，其所做的功为59722
W F S =⋅=+= .因此选C.
三、速度合成问题
例3、人骑自行车的速度为1v ，风速为2v
，则逆风行驶的速度大小为（ ）
A 、12v v -
B 、12v v +
C 、12v v -
D 、12
v v
分析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，本题的方向相反，大小就相减.
解析：对于逆风行驶其速度大小为12v v -
，因此宜选C.
点评：速度的合成主要是要根据向量的三角形法则或平行四边形法则进行求解，因此对于逆风或顺风问题速度的大小可通过相减或相加可得.
类题练3、某人以时速为/akm h 向东行走，此时正刮着时速为/akm h 的南风，则此人感到的风向及风速为（ ）
A
/h B 、东南，/akm h C
/h D
/h 解析：如图所示，对于速度的合成由三角形法
/h ,因此可选C.
四、船的航行问题
例4、一艘船从A
点出发以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为2/km h ，求船实际航行的速度的大小与方向.
分析：这是一个船行问题，处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则，当然要注意船的实际航速和航向，船在静水中的航速和航向.
解析：如图所示，由向量的三角形法则知，对于v =水2/km h ，v =
船/h ，
得
4v ==船实际/k m h ，方向为逆水流与水
流成0
30夹角.
点评：对于船的航行问题关键是要注意运用向量的
合成法则进行，当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向.
类题练4、河水自西向东流，流速为2/m s ，一轮
a /km h
南风2/m s
西北方向/s
水流2/m s
v =水2/km h
v =船
船以2/m s 垂直于水流方向向北横渡，求轮船的实际航行方向和航速.
解析：如图所示，由向量的三角形法则知，轮船的实际航行方向为西北方向，航速为
/s .
五、物体稳定问题
例5、如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有4kg 和2kg 的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)？
分析：对于物体的平衡关键是上下、左右的平衡，因此可从重力和向上的合力相等；从向左的拉力和向右的拉力相等列方程破解.当然有关参数的求解需要有较高的函数最值的求解技巧.
解析：如图可将重力与向上的拉力；向左与向右的位力相等出发进行列方程，即有122sin 4sin θθ=，122cos 4cos m θθ+=，这样化去
2θ得22124sin 16sin θθ=，()
2
22116cos 2cos m θθ=-，这样就有
22111644cos ,4cos 120m m m m θθ=+-∴--=对于2
116cos 480θ∆=+>，因此有
21120cos 14m m
θ-<=<
，6m <
，因此物体的质量范围是()
.
点评：这类问题的破解首选是列方程，关键是求参数，而求参数的过程是有二种方案的，如果消去1θ，用2θ的变量则求解显得困难重重，因此要注意选择合适的参数作为变量.其中的分离系数求变量的方法更是值得注意的好方法，当然要注意的是参数的范围.
类题练5、如右图所示，在细绳O 处用水平力2
F
缓慢拉起所受重力为G
的物体，绳子与铅垂方向的
夹角为θ，绳子所受到的拉力为1F
，
求：（1）12
,F F 随角θ的变化而变化的情况；（2）当2F G ≤
时，θ角的取值范围.
解析：（1）由题意，对于由三角形法则得，
12,tan ,cos G
F F
G θθ==
因此θ从00至090时，
12,F F
随角θ的增大而增大.
（2）对于11
2,cos cos 2
G F G θθ=≤∴≥ ，因此00060θ≤≤。