热点专项练(四)　解直角三角形应用
类型一　测宽
1.
(2018·青海)如图,同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度.小宇同学在A处观测对岸点C,测得∠CAD=45°,小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°,请根据这些数据算出河宽(精确到0.01米,2≈1.414,3≈1.732).
C作CE⊥AB于E,设CE=x米.
Rt△AEC中,∠CAE=45°,AE=CE=x.
在Rt△BEC中,∠CBE=30°,BE=3CE=3x.
∴3x=x+60.解得x=303+30≈81.96米.
答:河宽为81.96米.
类型二　测高
2.
(2018·云南昆明)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长.(结果保留小数点后一位) (参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,3≈1.73)
,连接CB,过点A作AE⊥BD于E,
在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,
∴AE=AB cos30°=10×
32=53(m),BE=ABsin 30°=10×1
2=5(m).∵BC=6.5m,∴CE=BC-BE=6.5-5=1.5(m),
在Rt△ADE 中,
∵∠EAD=42°,AE=53,
∴DE=AE ·tan42°=53×0.9≈5×1.73×0.9=7.785(m),∴CD=DE-CE ≈7.785-
1.5=6.285≈6.3(m).
类型三　航行类
3.
(2018·四川眉山)知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 表示)开展社会实践活动,车到达A 地后,发现C 地恰好在A 地的正北方向,且距离A 地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地,求B 、C 两地的距离.参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈3
5,tan 53°≈43
B 作BD ⊥A
C ,垂足为
D ,
设AD=x ,在Rt△ABD 中,tan A=BD AD ,
即3=BD x ,∴BD=3x.
在Rt△BCD 中,tan ∠CBD=CD BD ,
即43=CD 3x ,∴CD=43x 3,43x
3+x=13,
解方程得:x=43-3.∴BD=12-33,
在Rt△BCD中,cos∠CBD=BD
BC
,
即:3
5=12-3
3
BC
,∴BC=20-53.
答:B、C两地的距离为20-53千米.〚导学号16734126〛类型四　坡度、坡角类
4.(2018·湖南邵阳)某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.
如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)
,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10m,∴AD=1
2
AB=5m.
在Rt△ACD中,sin∠ACD=AD
AC
.
因为∠ACD=15°,AD=5m,
所以sin15°=5
AC
=0.26.
解得AC≈19.2m.
答:AC的长度约为19.2m.。