课标全国卷数学高考模拟试题精编二【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.题号一二三选做题总分131415161718192021得分第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,则x=( )A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或±22.命题“若x>1,则x>0”的否命题是( )A.若x>1,则x≤0 B.若x≤1,则x>0C.若x≤1,则x≤0 D.若x<1,则x<03.若复数z=2-i,则z+10z=( )A.2-i B.2+i C.4+2i D.6+3i4.(理)已知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的方程为( )A.5x2-45y2=1 B.x25-y24=1 C.y25-x24=1 D.5x2-54y2=1(文)已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±22x B.y=±2x C.y=±2x D.y=±12x5.设函数f(x)=sin x+cos x,把f(x)的图象按向量a=(m,0)(m>0)平移后的图象恰好为函数y=-f′(x)的图象,则m的最小值为( )A.π4B.π3C.π2D.2π36.(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x n 的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 4的系数为( )A .5B .40C .20D .10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷C 的人数为( ) A .7 B .9 C .10 D .157.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是63,则判断框中的整数M 的值是( )A .5B .6C .7D .88.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上,AB =BC =2,AC =2,若四面体ABCD 体积的最大值为23,则这个球的表面积为( )A.125π6 B .8π C.25π4 D.25π169.(理)已知实数a ,b ,c ,d 成等比数列,且函数y =ln(x +2)-x 当x =b 时取到极大值c ,则ad 等于( )A .1B .0C .-1D .2(文)直线y =kx +1与曲线y =x 3+ax +b 相切于点A (1,3),则2a +b 的值为( )A .2B .-1C .1D .-210.已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ,则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C .1D .2 11.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a ,b ,则使得函数f (x )=x 2+2ax -b 2+π有零点的概率为( )A.78B.34C.12D.1412.(理)设函数f (x )=x -1x,对任意x ∈[1,+∞),f (2mx )+2mf (x )<0恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12D.⎝⎛⎭⎪⎫0,12(文)已知函数f (x )=⎩⎨⎧a ·2x ,x ≤0,log 12x ,x >0.若关于x 的方程f (f (x ))=0有且仅有一个实数解,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,0)B .(-∞,0)∪(0,1)C .(0,1)D .(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填写在题中的横线上)13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.14.若x ,y 满足条件⎩⎨⎧3x -5y +6≥02x +3y -15≤0,y ≥0当且仅当x =y =3时,z =ax -y取得最小值,则实数a 的取值范围是________.15.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x;当x <4时f (x )=f (x +1),则f (2+log 23)=________. 16.(理)已知a n =∫n 0(2x +1)d x ,数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为S n ,数列{b n }的通项公式为b n =n -8,则b n S n 的最小值为________.(文)在△ABC 中,2sin 2A 2=3sin A ,sin (B -C)=2cos B sin C ,则ACAB =________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 2-2(n +1)x +n 2+5n -7.(Ⅰ)设函数y =f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n },求证:{a n }为等差数列;(Ⅱ)设函数y =f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n },求{b n }的前n 项和S n .18.(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试,共有 2 000名优秀同学参加笔试,成绩均介于195分到275分之间,从中随机抽取50名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成8组:第1组[195,205),第2组[205,215),…,第8组[265,275].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试.(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中,参加面试的同学人数;(2)面试时,每位同学抽取三个问题,若三个问题全答错,则不能取得该校的自主招生资格;若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上,则获A 类资格;其他情况下获B 类资格.现已知某中学有3人获得面试资格,且仅有1人笔试成绩在270分以上,在回答三个面试问题时,3人对每一个问题正确回答的概率均为12,用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数,求X 的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB 30952012,PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区某年全年每天的PM 2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差;(2)从空气质量为二级的数据中任取两个,求这两个数据的和小于100的概率; (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况,估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级.19.(理)(本题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.(Ⅰ)求证:BE∥平面PAD;(Ⅱ)若BE⊥平面PCD,求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值.(文)(本小题满分12分)如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点.(1)求证:AB 1⊥平面A 1BD ;(2)设点O 为AB 1上的动点,当OD ∥平面ABC 时,求AOOB 1的值.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆C :x 24+y 23=1,直线l 的方程为x =4,过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ,Q 两点,直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ →=92时,求此时直线l ′的方程;(Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.21.(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax sin x +cos x ,且f(x)在x =π4处的切线斜率为2π8. (1)求a 的值,并讨论f(x)在[-π,π]上的单调性; (2)设函数g(x)=ln (mx +1)+1-x1+x,x ≥0,其中m >0,若对任意的x 1∈[0,+∞)总存在x 2∈[0,π2],使得g(x 1)≥f(x 2)成立,求m 的取值范围.(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)=12x2-13ax3(a>0),函数g(x)=f(x)+e x(x-1),函数g(x)的导函数为g′(x).(1)求函数f(x)的极值;(2)若a=e,(ⅰ)求函数g(x)的单调区间;(ⅱ)求证:x>0时,不等式g′(x)≥1+ln x恒成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)如图,A ,B ,C ,D 四点共圆,BC 与AD 的延长线交于点E ,点F 在AB 的延长线上. (1)若EA =2ED ,EB =3EC ,求ABCD的值; (2)若EF ∥CD ,求证:线段FA ,FE ,FB 成等比数列.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎨⎧ x =2+2cos φy =2sin φ(φ为参数)和⎩⎨⎧ x =cos φy =1+sin φ(φ为参数).以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 1和C 2的极坐标方程;(2)射线OM :θ=α与圆C 1的交点为O 、P ,与圆C 2的交点为O 、Q ,求|OP|·|OQ|的最大值.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x -1|+|x -2a|.(1)当a =1时,求f(x)≤3的解集;(2) 当x ∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a 的取值范围.。