一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
解：△=(2k 2-6k-4)2-4(k 2-4)(k 2-6k+8)=4(k-6)2 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142x x k k =--=---- 只有当x≠－1时，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++, 去分母，整理得 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得121,5x x ==-或122,4x x ==-或122,2x x =-=-.分别代入，易得k=3，103，6.23.(丰台模拟) 已知：关于x 的方程2(23)30+-+-=kx k x k .（1）求证：方程总有实数根；（2）当k 取哪些整数时，关于x 的方程2(23)30+-+-=kx k x k 的两个实数根均为负整数？23. 解：（1）分类讨论：若k =0，则此方程为一元一次方程，即033=--x ，∴1-=x 有根，……1分若k ≠0，则此方程为一元二次方程，∴△=()()934322=---k k k ＞0， …………………………………………2分∴方程有两个不相等的实数根，…………………………………………………3分综上所述，方程总有实数根.（2）∵方程有两个实数根 ∴方程为一元二次方程. ∵利用求根公式()k k x 2932±--=， ………………………………………4分 得132261-=-=kk k x ；12-=x ，……………………………………………5分 ∵方程有两个负整数根 ∴13-k是负整数，即k 是3的约数 ∴k =1±，3±但k =1、3时根不是负整数，∴k =1-、3-.…………………………………7分三、 利用方程根的定义例3. b 为何值时，方程220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)(1)20b b b +-+-=解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解例4. 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个.解: 当a=1时,x=1当a≠1时,原方程左边因式分解,得 (x －1)[(a －1)x+(a+1)]=0 即得1221,11x x a==-+- ∵ x 是整数∴ 1-a=±1,±2, ∴a= -1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.五.分析等式例5. n 为正整数，方程21)60x x --=有一个整数根，则n=__________.解：不妨设已知方程的整数根为α，则21)60a a -+-=整理。
得26)a a a n --=- 因为a 为整数，所以26a a --为整数)a n -)a n -为整数，必有a n =.由此得260a a --=，即260n n --=解得n=3或-2（舍去）∴ n=3。
上述策略都是平常我们经常使用的策略，由于根系关系的弱化，对于一元二次方程根的题也就随之简单和弱化了。
但是还是有部分题目在这里做文章，我觉得做这种题的常规套路一般可以这样，求判别式分析参数、利用求根公式求根，结合条件和判别式分析参数、分类讨论与试数、舍值求解。
有时还要注意奇偶性的分析、方程的变形、整体带入换元思想的应用、还要注意在对根的确定时的分类等等！总之这种题对于学生来讲，只要有套路就相对容易解决，反之就无从下手。
练习题：1已知关于x 的一元二次方程240x mx ++=有两个正整数根，则m 可能取的值为( ).（A ） 0m > （B ）4m > （C ）-4，-5 （D ）4，52.如果关于x 的一元二次方程x 2－x －m=0的两个根都是有理数，试确定m 的值（写出两个不同的值即可），并求出方程的根。
3、已知关于m 的方程01322)2(2=-+++-n n m m a 是一元二次方程（1） 求a 的值（2） 当n=0时，判断原方程是否有整数解（3） 求当n 取哪些整数时，原方程有整数解4、已知关于x 的方程kx 2+2(k+1)x-3=0（1） 请你为k 选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根。
（2） 若k 满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况5、已知关于x 的一元二次方程x 2－2mx －3m 2+8m －4=0.（1） 求证原方程总有两个实数根；‘（2） 给m 一个合适的值，使这个一元二次方程的两个根都是分数.6.k 是整数，已知关于x 的一元二次方程01)12(2=-+-+k x k kx 只有整数根,则k=．7．已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．8． 已知关于x 的一元二次方程022=+-a x x 只有．．正整数根，试求非负整数a 的值．9．已知：抛物线22++=x ax y ．（1）当对称轴为21=x 时，求此抛物线的解析式和顶点坐标； （2）若代数式22++-x x 的值为正整数，求x 的值．附：一模试题1、（朝阳12）. 已知抛物线22)1(2m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数， 且m <5，则整数m 的值为 . （ 常规套路）2、(房山23)已知关于x 的一元二次方程kx 2＋（3k ＋1）x ＋2k ＋1＝0.（1）求证：该方程必有两个实数根；（2）设方程的两个实数根分别是12,x x ，若y 1是关于x 的函数，且11y mx =-，其中m=12x x ,求这个函数的解析式； （与函数结合）（3）设y 2＝kx 2＋（3k ＋1）x ＋2k ＋1，若该一元二次方程只有整数根，且k 是小于0 的整数.结合函数的图象回答：当自变量x 满足什么条件时，y 2>y 1?3、（门头沟23）．已知以x 为自变量的二次函数y=x 2＋2mx ＋m －7．（1）求证：不论m 为任何实数，二次函数的图象与x 轴都有两个交点；（2）若二次函数的图象与x 轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x 的一元二次方程m 2x 2＋(2m＋3)x ＋1=0有两个实数根，且m 为整数，求m 的值；（3）在（2）的条件下，关于x 的另一方程 x 2＋2(a ＋m )x ＋2a －m 2＋6 m －4=0 有大于0且小于5的实数根，求a 的整数值． （与函数结合）4、（密云23）. 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值.（注意奇偶性）5、（顺义23）. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-，求m 的值．（易）6、(通州22)． 若关于x 的一元二次方程m 2x 2-(2m -3)x ＋1=0的两实数根为x 1 、x 2 ，且x 1＋x 2=223m m -, x 1·x 2=21m,两实数根的倒数和是S . 求：（1）m 的取值范围；（2）S 的取值范围.（注意对方程的变形）7、（海淀23）．已知: 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2-bx +kc（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcab b kc +-22)(的值； （3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根.8、（东城23.）已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+=（1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值．（常规套路）9、（崇文23）．（本小题满分7分）已知：关于x 的一元二次方程kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0有两个不相等实数根（k<0）． （I ）用含k 的式子表示方程的两实数根；（II ）设方程的两实数根分别是1x ，2x （其中21x x >），若一次函数y=(3k －1)x+b 与反比例函数y =xb 的图像都经过点（x 1，kx 2），求一次函数与反比例函数的解析式． （对根的确定要注意）。