数列大题训练三答案精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-《数列》专题训练三1．2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 解：(Ⅰ)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a2325=-=∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -11211---=n n b T ,两式相减得n n n b b b 21211-=-,()2311≥=∴-n b b n n ()*-∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴N n b n n n 3231321.(Ⅱ)()nn n n n c 3243212-=⋅-=, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312353331232 ,⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++=+132312332333123n n n n n S , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫⎝⎛-⨯++-1131231131191231n n n =11344343123131312+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+n n n n n , nn n S 3222+-=∴ 2．已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2121N n n n S S n n ∈++=+（1）求*);(,2:,,132N n n a a a a n n ∈+=+并证明 （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。

（4分） 解答：（1）由已知1212+=S S ,即1,122121=+=+a a a a3223+=S S ，即,3)(221321++=++a a a a a 有43=a由)1(2121++=+n n S S n n ，有)2()1(2121≥-+=-n n n S S n n)1(21)1(21)(211--++-=-∴-+n n n n S S S S n n n n ，即)2(,21≥+=+n n a a n n 同时，,11212=+=a a*)(,21N n n a a n n ∈+=∴+（2）由（1）：n a a n n +=+21，有1212++=++n a a n n1)(2112+-=-∴+++n n n n a a a a 121+=+n n b b 即（3）由（2）：)1(211+=++n n b b 而211121=+-=+a a b ，}1{+∴n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， n n n b 22211=⋅=+∴-，12-=n n b即121-=-+n n n a a ，而n a a n n +=+21， 有：,122-=-+n n n a n a*)(12N n n a n n ∈--=∴3．已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1 = 1，2212b S =． （Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式； （Ⅱ）若a n ∈N *，{na b }是公比为9的等比数列，求证：351111321<++++n S S S S ． 解: 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ． （Ⅰ）∵ 2212b S =，∴ qb d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．① 又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ② 联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,2q d 或 ⎩⎨⎧-=-=.4,5q d 所以 a n = 1 +（n －1）· 2 = 2n －1，b n = 3n －1；或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1．（Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q q b b n n )1(1)1(111---+-===，∴9)1(1===-+d dn nd a a q qq b b nn ，即 q d = 32． ①由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 dq +=212． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数， ∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3，∴ a n = 2n －1，22)121(n n n S n =-+=． ∴ )121121(2)5.0)(5.0(1112+--=-+<=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时，2222211312111111n S S S n ++++=+++ ＜)121121(2)7151(2)5131(21+--++-+-+n n =12135)]121121()7151()5131[(21+-=+--++-+-+n n n ＜35． 显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，3511121<+++n S S S ．4．已知函数2()1ax bf x cx +=+（a ，b ，c 为常数，0a ≠）. （Ⅰ）若0c =时，数列{}n a 满足条件：点(, )n n a 在函数2()1ax bf x cx +=+的图象上，求{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若37a =，424S =，, p q N *∈（p q ≠），证明：221()2p q p q S S S +<+；解：（Ⅰ）依条件有()f x ax b =+.因为点(, )n n a 在函数()f x ax b =+的图象上，所以()n a f n an b ==+. 因为1(1)()n n a a a n b an b a +-=++-+=，所以{}n a 是首项是1a a b =+，公差为d a =的等差数列. …………………… 1分所以(1)()2n n n S n a b a -=++⋅(1)2n n nb a +=+⋅.即数列{}n a 的前n 项和n S (1)2n n nb a +=+⋅. ……………………………… 2分（Ⅱ）证明：依条件有()27,434()24.2a b a a b a ++=⎧⎪⎨⨯++⋅=⎪⎩ 即37, 10424.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =+. 所以.22)(21n n a a n S n n +=+=因为222()p q p q S S S +-+=2222[()2()](44)(44)p q p q p p q q +++-+-+22()p q =--，又p q ≠，所以222()0p q p q S S S +-+<.即221()2p q p q S S S +<+.21．已知数列{}n a （*n N ∈）的各项满足：k a 311-=,1143n n n a a --=-（2n ≥，k R ∈）．(1) 判断数列}74{nn a -是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；(3) 若数列{}n a 为递增数列，求0a 的取值范围.解：（1）nn n n n n n a a a 4733743474111⨯+-=--=-+++)74(3n n a --=， k k a 3737431741-=--=-．当17k =时，0741=-a ，则数列}74{n n a -不是等比数列；当17k ≠时，0741≠-a ，则数列}74{n n a -是公比为3-的等比数列．（2）由（1）可知当17k ≠时，1)3()373(74--⋅-=-n n n k a ，74)3()373(1n n n k a +-⋅-=-． 当17k =时，74n n a =，也符合上式，所以，数列{}n a 的通项公式为74)3()373(1n n n k a +-⋅-=-．(3)()()111434333337777n n n n n n a a k k +-+⎛⎫⎛⎫-=+------ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111233412377n n n k --⨯-⨯=-+⨯-．∵ {}n a 为递增数列，∴()()1112334123077n n n k --⨯-⨯-+⨯->恒成立．①当n 为奇数时，有1134123123077n n n k --⨯⨯-+⨯>，即114173n k -⎡⎤⎛⎫>-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦恒成立， 由1114411033n --⎛⎫⎛⎫-≤-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得0k >．②当n 为偶数时，有1134123123077n n n k --⨯⨯+-⨯>，即114173n k -⎡⎤⎛⎫<+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦恒成立， 由12144711333n --⎛⎫⎛⎫+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得13k <． 故k 的取值范围是103,⎛⎫ ⎪⎝⎭．5．设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S，且.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记2nn n a b =的前n 项和为n T ，求n T . 解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，由== 解得11a =，故21n a n =-；（Ⅱ）211(21)()222nn n n na nb n -===-， 法1：12311111()3()5()(21)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， ②①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯11111(1)113121222(21)()12222212n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ∴4212333222n n n n n n T -+=--=-．法2：121112222n n n n n n a n b n --===⋅-， 设112n n k k kF -==∑，记11()()nk k f x kx -==∑，则()1111(1)()1(1)n n nn kknkk x x n nx x f x x x x x +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， ∴114(2)2n n F n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， -故111(1)1123224(2)13122212n n n n n nn T F n --+=-=-+⋅-+=--． 6．已知数列{},{}n n a b 满足12a =，121,1n n n n n a a a b a +=+=-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，令2n n n T S S =-（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求证：1()n n T T n N *+>∈（1）解：由1-=n n a b 得1+=n n b a 代入112++=n n n a a a 得)1)(1(1)1(21+++=++n n n b b b ，整理得01=-+n n n b b b 从而有1111=-+n n b b ，所以112111=-=-=a b ，所以，}1{nb 是首项为1，公差为1的等差数列，,1n b n =即nb n 1= （2）nn 14131211S +++++=7．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2(n a n n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．解： (1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， ………………2分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+ ……………4分（2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立， ∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立． ……………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立， 当且仅当1n =时，12n -有最小值为1， ∴1λ< ……………8分（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-， ∴2λ>- …………10分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…6、（理科）已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1, 1)-.(Ⅰ)求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；(Ⅱ) 已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）在1P ，2P 两点确定的直线l 上，求证：数列1{}na 是等差数列.（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n *∈N ，能使不等式12(1)(1)(1)n a a a +++≥成立的最大实数k 的值.解：(Ⅰ)因为12211314b b a ==-，所以21213a a b ==. 所以211(, )33P . 所以过点1P ，2P 的直线l 的方程为21x y +=.(Ⅱ)因为(, )n n n P a b 在直线l 上，所以21n n a b +=. 所以1112n n b a ++=-. 由11n n n a a b ++=，得11(12)n n n a a a ++=-. 即112n n n n a a a a ++=-. 所以1112n n a a +-=. 所以1{}na 是公差为2的等差数列. （Ⅲ）由(Ⅱ)得1112(1)n n a a =+-.所以112(1)21n n n a =+-=-.所以121n a n =-. 所以231221n n n b a n -=-=-.依题意12(1)(1)(1)n k a a a+++≤恒成立.设12()(1)(1)(1)n F n a a a =+++，所以只需求满足()k F n ≤的()F n 的最小值.因为(1)())(1)n n nF n F n a a +=++=1(1n a ++==1>， 所以()F n （x *∈N ）为增函数. 所以min ()(1)F n F ===. 所以3k ≤所以max 3k =. ……………………………………… 14分8．（理科做．．．）已知点),(111b a P ，),(222b a P ，…，),(n n n b a P （n 为正整数）都在函数)1,0(≠>=a a a y x 的图像上，其中}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列。