Tn在区间[-1, 1]上有
个不同os , 2n
k 1, 2,..., n
2、Legendre(勒让德)多项式 (1)定义
多项式
1 dn p n ( x) n n [( x 2 1) n ] 2 n! dx
称为n 次勒让德多项式。
3.3.3 常用的正交多项式
1、第一类切比雪夫多项式
(1)定义
Tn cos n arccos x , x 1
(2)性质
正交性：
切比雪夫多项式序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
( x)
1 1 x
2
的正交多项式序列。
且
(Tm ( x), Tn ( x))
(n 1, 2, )
n
( x) e
x2
的正交多项式序列。



e
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n1 ( x),
(n 1, 2,
)
(2) 拉盖尔(Laguerre)多项式
定义： 称多项式
n d Ln ( x) e x n ( x n e x ), (0 x ) dx (n 0, 1, 2, )
为拉盖尔多项式。
拉盖尔多项式的性质： ① 是在区间[0, +∞]上带权 Ln x 的正交多项式序列。 x e x
(n 0, 1, 2, )
(2)性质
正交性 勒让德多项式序列 的正交多项式序列。即
P[-1, x1] 上带权 是
n
x 1
0 mn 1 ( Pm ( x), Pn ( x)) Pm ( x) Pn ( x)dx 2 1 mn 2n 1
P 当n为奇数时， n x 为奇函数。

在区间[-1, 1]内部存在n个互异的实零点。 P n x 的最高次项系数为 P n x
(2n)! 2n (n !) 2

(5) 在所有首项系数为1的 n 次多项式中， 勒让德
多项式 Pn 在 1,1 x 上与零的平方误差最小。
P , P P , P
k k n n
当且仅当 即当
a0 a1 ... an1 0
时等号才成立，
Qn 时平方误差最小。 x P n x
3、其他常用的正交多项式
(1) 第二类Chebyshev(切比雪夫)多项式 定义： 称
U n ( x)
sin[(n 1) arccos x] 1 x
2
(n 0, 1, 2,
)
为第二类切比雪夫多项式。
第二类切比雪夫多项式的性质： ①
U
n
x是区间[-1, 1]上带权
( x) 1 x
2
的正交多项式序列。
② 相邻的三项具有递推关系式：
U 0 ( x) 1, U1 ( x) 2 x, U n 1 ( x) 2 xU n ( x) U n 1 ( x)
1
1
0, 1 T ( x)Tn ( x)dx , 2 m 1 x 2 ,
mn mn0 mn0
递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：
T0 x 1, T1 x x n 1, 2,... Tn 1 x 2 x Tn x Tn 1 x



0
m n, 0, e Lm ( x) Ln ( x)dx 2 ( n ! ) , m n。
x
② 相邻的三项具有递推关系式：
L0 ( x) 1, L1 ( x) 1 x, 2 L ( x ) ( 1 2 n x ) L ( x ) n Ln 1 ( x), (n 1, 2,) n n 1
(3) 埃尔米特(Hermite)多项式 定义： 称多项式
n d n x x2 H n ( x) (1) e n (e ), x (, ) dx (n 0, 1, 2, )
2
为埃尔米特多项式。
埃尔米特多项式的性质：
①
x (-, +)上带权 H 是区间
证明： 设 是任意一个最高项系数为 1的 Q n x 次多项式，
n 1
n
于是
它可表示为
Qn x Pn x ak Pk x ,
k 0
Qn , Qn 1 Q x dx Pn , Pn a
1 2 n k 0
n 1
2 k

递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有如下递推关系式：
P0 ( x) 1, P1 ( x) x, 2n 1 n Pn 1 ( x) xPn ( x) Pn 1 ( x) n 1 n 1
(n 1, 2, )

奇偶性：
当n为偶数时， 为偶函数； P n x