直线与线性规划由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下七类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]变式训练1：已知x ，y 满足约束条件 305≤≥+≥+-x y x y x ，则y x z -=4的最小值为______________．变式训练2：若⎩⎨⎧≥+≤≤2,22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ） A ．[2 ，6] B ． [2，5]C ． [3，6]D ． [3，5] 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大变式训练1：由12+≤≤≤x y x y 及围成的几何图形的面积是多少?变式训练2：已知),2,0(∈a 当a 为何值时，直线422:422:2221+=+-=-a y a x l a y ax l 与及坐标轴围成的平面区域的面积最小？三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个变式训练1：不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为 （ ）A ． 13个B ． 10个C ． 14个D ． 17个变式训练2：.在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,0x y x y x y y ->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点有（ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）A 、－3B 、3C 、－1D 、1变式训练1：不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是（ ） A ．32<<-m B ．60<<m C ．63<<-m D ．30<<m变式训练2：已知平面区域如右图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为（ ）A ．207B ．207-C ．21D ．不存在 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩ 最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、 变式训练1：: 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 .变式训练2：设O 为坐标原点，点()1,1,,4A M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭若满足不等式组21,2x y x OM OA y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则uuu r uu r g 的最小值是___________.六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3） 变式训练1：已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ）A ．m ＜－7或m ＞24B ．－7＜m ＜24C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 24变式训练2：在ABC ∆所包围的阴影区域内（包括边界），若有且仅有)2,4(B 是使得y ax z -=取得最大值的最优解，则实数a 的取值范围为（ ）A. 11<<-aB. 11≤≤-aC.11<≤-aD. 11≤<-a七·比值问题例7、 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y x 的取值范围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]变式训练1：已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则3251x y x +++的最大值为___________，最小值为____________． 变式训练2：变量x , y 满足条件430,35250,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩设z=23121x y x --+, 则z min = ，z max = .巩固练习题：一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A. a ＜－1或a ＞24B. a =7或a =24C. －7＜a ＜24D. －24＜a ＜72.若x , y 满足约束条件210,0,0.x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则x +2y 的最大值是 ( )A.［2，6］B.(2，5)C.(3，6)D.(3，5)3.满足｜x ｜+｜y ｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x , y )的个数是 ( )A.16B.17C.40D.414.不等式x －2y +6＞0表示的平面区域在直线x －2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方5.不等式组3,0,20x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积等于 ( )A.28B.16C.439D.1216.在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,0x y x y x y y ->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个7.点P (a , 4)到直线x －2y +2=0的距离等于且在不等式3x + y －3＞0表示的平面区域内，则点P 的坐标为（ ）A ．(16，－4)B ．(16，4)C ．(－16，4)D ．(－16，－4)8.在直角坐标平面上，满足不等式组224640,233x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨-+-≥⎪⎩面积是 ( )A ．6π+10B ．9π－18C ．8π－10D ．18π－99．如图220x y -<表示的平面区域是 （ ）10．已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x －2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．a <－7或a >24B ．a =7或a =2411．给出平面区域如图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 （ ）A ．32B ．21C ．2D ．23 12．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有 ( )A.5种B.6种C.7种D.8种二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.13.变量x , y 满足条件430,35250,1.x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩设z=y x , 则z min = ，z max = . 14.已知集合A ={(x , y )│|x |+|y |≤1}，B ={(x , y )｜(y －x )(y +x )≤0}，M =A ∩B ，则M 的面积为 .15.设m 为平面内以A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界)，当点(x , y )在区域m 上变动时，4x -3y 的最小值是 .16.设P (x ,y )是区域|x |+|y |≤1内的动点，则函数f (x ,y )=ax +y (a ＞0)的最大值是 .17．下图所示的阴影区域用不等式组表示为 185,6,0,y y y ≤≤≥ 则使k =6x+8y 取得最大值的点的坐标是 . 20. 设实数x 、y 满足不等式组14,2|23|.x y y x ≤+≤⎧⎨+≥-⎩ (1)作出点(x , y )所在的平面区域(2)设a ＞－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ,y )=y －ax 的最大21. （本题满分14分）某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率及日工资数如下表所示：工厂要求每天至少加工配件2400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少.22．（本题满分14分）某工厂要制造A 种电子装置45台，B 电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A 的外壳3个和B 的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A 和B 的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小?23. （本题满分14分）私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表(以班级为单位)：市场调查表根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资?。