结构拓扑优化的组合准则及应用丁繁繁* 郭兴文(河海大学工程力学系,江苏,南京,210098)摘要：本文研究了拓扑相关荷载作用下连续体结构拓扑优化设计问题，探讨了ESO 方法中单独应用最大拉应变准则或主应力准则来删除单元的问题,提出了基于主压应力删除准则与最大拉应变删除准则的组合优化删除准则,给出了组合准则的迭代步骤.依据所提准则与迭代步骤, 应用Ansys 分析软件对一受拓扑相关径向均布荷载作用的连续体进行了拓扑优化设计,获得了相应的最优拓扑结构,算例表明,本文提出的组合优化法可以消除单一应力删除准则在优化过程中出现的迭代波动问题,能加快拓扑优化的收敛速度.关键词:拓扑优化, 拓扑相关荷载, 主应力准则, 最大拉应变准则，组合准则1.前言结构拓扑优化设计是目前结构优化设计领域最赋有挑战性的研究课题,近十几年来，随着科学技术的进步, 结构拓扑优化设计得到了迅速的发展. 有关结构拓扑优化设计的最新发展,文献以综述的形式作了详细的叙述.连续体结构拓扑优化方法主要有均匀化法、两相法、内力法、变厚度法、变密度法、人工材料、渐进结构优化法及线性规划法等。

其中渐进结构优化法(简称ESO)是通过一定的删除准则，将无效或低效的材料逐步去掉,结构将逐渐趋于优化。

该方法可采用已有的有限元分析软件,通过迭代过程在计算机上实现,该法的通用性很好。

ESO 法最早是由澳大利亚华裔学者谢忆民于1993年提出来的。

随后得到了荣见华等人的发展，成功应用于包含应力、位移（刚度）、临界应力和动力学约束的众多结构拓扑优化领域。

基于主应力的ESO 法考虑了实际材料在拉、压应力方面的特性差异，特别适用于一些拉压性质明显的建筑类型，例如桥梁工程，从而改进了ESO 法的工程适用性。

]4~1[]5[目前,连续体结构拓扑优化研究主要集中在荷载作用位置及作用方向不变情况下的结构拓扑优化问题，而对于荷载作用位置变动情况下的连续体结构拓扑优化研究刚刚起步.]6[本文研究了荷载位置随拓扑变化而变化作用下的连续体结构拓扑优化问题，该连续体结构是一混凝土受压结构。

优化过程中在进行尝试使用不同删除准则的基础上,提出了基于主压应力删除准则与最大拉应变删除准则的组合优化删除准则.依据提出的组合优化删除准则, 应用Ansys 分析软件对一受径向均布荷载作用简支的矩形初始构型进行了拓扑优化设计, 获得了相应的最优拓扑结构,算例表明,本文提出的组合优化法可以消除单一应力删除准则在优化过程中出现的迭代波动问题,能加快拓扑优化的收敛速度.2.拓扑优化设计双准则对于各向同性材料,传统的ESO 方法分别采用基于等效应力或基于主应力的删除准则。

基于等效应力删除准则的ESO 法的思路是,从满尺寸结构中系统地删除等效应力较低的材料来优化结构。

许多实例也证明了该方法解决实际问题的有效性。

许多工程实例常常采用VonMises 应力(vm σ)作为等效应力，在优化过程中删除vm σ较低的材料。

工程实际中，许多工程材料具有不同的拉、压强度。

例如混凝土材料的拉压强度远远大于其抗拉强度。

因此。

在实际设计中需要考虑上述问题。

荣见华等在进行桥梁的拓扑优化设计问题时，提出了一种基于主应力的优化方法。

其基本思想是:如果设计一个拉力占优的结构,就删除压力定向的单元；相反,如果希望设计一个压力占优的结构,就删除拉力定向的单元。

]5[ 2.1 最大拉应变删除准则本文基于材料力学中的第二强度理论，提出将b σ作为等效应力，那么这种基于第二强度理论的最大拉应变删除准则如下：e b i e b RR max ,σσ×≤ (1)（2）)(e 3e 2e 1e b σσμσσ+−=式中是由式（2）决定的单元等效应力，是其最大值。

、 、 是单元的 主应力，e b σe max ,b σe 1σe 2σe3σμ为材料的泊松比。

在迭代过程中，为单元删除率,单元删除率满足i RR ER RR RR i i +=+1 i=0，1，2，…… （3） 式中ER 为附加进化率，和0RR ER 取值一般为0.01%~1%，这里先取为1%，并通过试算来确定。

2.2 主应力准则设计拉力占优结构时,删除同时满足条件（4）（5）的单元。

且,0e 3≤σe 1e 3σσ>> （4） e i e RR max ,11σσ×≤ （5） 设计压力占优结构时,删除同时满足条件（6）、（7）的单元。

,且0e1≥σe 3e 1σσ>> （6） e i e RR max ,33σσ×≤ （7） 其中、分别为结构全部单元中第一主应力和第三主应力的最大值。

e max ,1σe max ,3σ2．3 组合准则优化法笔者在研究径向匀布水压力作用下的结构最优拓扑的过程中，分别应用上述两种准则做了尝试，发现存在如下问题：（1）如果只用主应力准则来删除单元,在“远远大于”这个条件的限制下,能够删除的单元个数非常有限, 容易造成迭代陷入僵局，即不管删除率怎样增大，仍然没有满足删除条件的单元，而这种稳态出现时被删除的单元体积往往还不到结构原始体积的15%，这时得不到优化结果；（2）如果只用最大拉应变准则来删除单元，则在结构单元数值分析过程会发现，单元的值比较接近，总态方差小。

有时无论怎样调整附加进化率，在同一次迭代过程中还是会有过多单元被删去。

在迭代步骤较少的情况下，结构便会出现断裂的情况。

这种优化结果不稳定，不宜采纳；（3）分别使用上述两种准则作为删除准则时，发现有些单元在两种删除准则中会出现相悖的情况，即在一种删除准则中为强度较高的区域，在另一种删除准则中却变成了强度很低的区域。

e b σ为了解决上述问题,本文通过交替使用两种准则的方法比较快速的得到拓扑优化结果。

这种组合准则的基本思路是，设只要是在任意一种该结构拓扑优化适用准则中强度很低的单元，即使该单元在该结构另一种拓扑优化适用准则中强度值较高，也要删去。

采用组合准则的方法，交替使用不同准则，就能删去在所有该结构拓扑优化适用准则中强度较低的单元。

组合准则优化法迭代格式与步骤如下:①建立有限元模型，用有限元网格离散该区域，对离散结构进行静力分析。

求出每个单元的应力值、、； e 1σe2σe 3σ②采用主应力删除准则，验证单元应力是否满足条件（6）（7），如满足，则删除该单元；具体到本文，认为单元如果满足条件,且0e1≥σe 3e 110σσ>就满足条件（6）中提及的“远远大于”这个条件。

其中单元删除率值按条件（3）来确定；用增加的删除率重复步骤①～②，直到在当前第 i 次迭代，无论值怎样增加，仍然没有单元可以删除； i RR i RR ③ 换用最大拉应变准则，对离散结构进行静力分析，求出每个单元的应力值、、，验证单元应力是否满足条件（1），如满足，则删除该单元，其中为单元删除率，其值按条件（3）来确定；e 1σe2σe 3σi RR ④用增加的删除率重复步骤③，直到在当前第 i 次迭代满足条件（1）的单元体积与初始体积之比大于5%时，此时停止删除，改用主应力删除准则作为删除准则；⑤重复步骤①～④,直到达到预先设定结构拓扑优化的目标体积,本文算例所设立的目标体积为初始体积的20%。

3.算例图1为一各向同性的弹性设计区域,矩形长度为16m,宽度为6m。

材料弹性模量E 为21GPa,泊松比 μ =0.2,初始条件为两端固结。

荷载为上面与左右受与拓扑相关的法向均布面荷载，荷载集度为98kPa.不考虑自重及温度影响。

容许目标最小体积比为20%，容许应力为材料一般允许应力。

图1 初始设计区域及边界条件图2 体积比v/v=85.25％时的结构拓扑图3体积比v/v=50.1％时的结构拓扑图4 结构断裂时状况图5 体积比v/v=60.5％时的结构拓扑=44.67％时的结构拓扑=38.25％时的结构拓扑图8 体积比v/v=35.08％时的结构拓扑图9 体积比v/v =20％时的结构拓扑 0对于本文中结构，如果只使用主应力准则，则只能优化得到图2所示的结果。

在“远远大于”这个条件的限制下体积比只有85.25%，迭代过程就停止了。

如果只使用最大拉应变准则，优化结果如图3、图4所现。

在优化的迭代步骤很少的情况下，结构很早出现断裂，不能得到稳定的优化结果。

本例改用组合准则法优化，则在进行了39步迭代后得到满足条件的最佳拓扑结构。

表1列出了迭代过程中两种准则交替使用时的情况。

表1 优化过程及使用准则交替表 结构主分析1－14 15－21 22－30 31－39 删除准则 主应力准则 最大拉应变准则主应力准则 最大拉应变准则在应用主应力删除准则进行14次迭代后，得到的拓扑如图2所示。

此时应用该准则如前所述已无法进一步优化结构，此时改用最大拉应变删除准则，在本例中是第15到21次迭代，如图所示5到图6。

在进行到第21次迭代时，若继续使用该删除准则，会出现单次删除率大于5%的情况。

此时改用主应力删除准则，继续迭代到30次时，用最大拉应变准则已无法继续删除单元，图6为此时的拓扑。

后改用最大拉应变准则迭代，到第39拓扑达到提前给定的体积比，得到满足条件的最佳拓扑。

4．结论 本例给出了使用组合准则进行结构拓扑优化的情况。

该过程实现了在径向匀布水压力作用下无铰拱的合理轴线形式的拓扑优化，符合已被结构力学所证明的理论[。

在优化过程中，在荷载是可变的情况下，采用了两种优化删除准则交替使用的方法，实践证明这是一种行之有效的方法。

]7参考文献：[1] 周克民,李俊峰,李霞. 结构拓扑优化方法研究方法综述[J]. 力学进展，2005，35（1）:69~76[2] Rozvany GIN. Aims, scope, method, history and unified terminology of computer-aidedtopology optimization in structural mechanics[J]. Structual Optimization, 2001,21(2):90~108[3] Eschenauer HA, Olhoff N. Topology optimization of continuum structures: a review[J].Applied Mechanics Reviews,2001,54（4）：331~389[4] 汪树玉, 刘国华, 包志仁.结构优化设计的现状与进展[J].基建优化,1999,20(4):3~12[5]荣见华,姜节胜,颜东煌,徐斌.多约束的桥梁结构拓扑优化[J].工程力学,2002,19（4）:160~165[6] Hammer V.B, Olhoff N. Topology optimization of continuum structures subjected topressure loading[J]. Struct Multidisc Optim ,2000,19: 85~92[7] 张宗尧，于德顺，王德信.结构力学[M].河海大学出版社,2003年7月第二版：55~56A Combination of Optimality Criteria on StructuresDing FanFan Guo XingWenHohai UniversityAbstract : Topology optimization of continuum structures subjected to pressure loading are briefly discussed on finite element approach. A new optimization criterion combined of the principalstress and maximum circumferential strain optimization criterion based on ESO (Evolutionary Structural Optimization) method is presented in this paper. One continuum structures is optimized based on this method and the iterative process is proposed.During this optimization, the combined optimization criterion can deal with the problem working under one single optimization criterion. Keywords: structural topology optimization, various pressure loading, principal stress optimization criterion, maximum circumferential strain optimization criterion, combined optimization criterion。