第３５卷第１期

２００５年２月２５日力学进展

ＡＤＶＡＮＣＥＳ　ＩＮ　ＭＥＣＨＡＮＩＣＳＶｏｌ．　３５ Ｎｏ．　Ｉ

Ｆｅｂ．２５， ２００５

结构拓扑优化研究方法综述’

周克民‘，２，ｔ李俊峰２李霞‘

１华侨大学土木工程学院，福建３６２０２１２清华大学工程力学系，北京１０００８４

摘要结构拓扑优化研究方法目前有解析方法和数值方法两大类．首先介绍了解析方法中的Ｍｉｃｈｅｌｌ理论，它在

结构拓扑优化领域研究较早，影响最为深远．随后着重讨论了杆系和连续体结构拓扑优化的数值方法．杆系结构常

采用基结构方法，通过删除部分杆件达到结构拓扑优化的目的．连续体结构一般要划分为有限单元，通过删除单元

形成带孔的连续体，以实现拓扑优化．介绍了连续体结构拓扑优化常采用的材料模型：各向同性、各向异性和带微

结构材料．并对连续体结构（０－１｝拓扑优化中的数值计算不稳定问题的机理进行了分析，给出了解决方法．此外，

对应力约束问题存在解的奇异性现象也作了简要介绍．最后，对数值方法中的主要数学求解方法进行了简单介绍．

关键词拓扑优么Ｍｉｃｈｅｌｌ桥架，基结构方法，准则法，均匀化方法

１引言

结构优化一般分为３个层次：（１）尺寸优化：

优化变量为杆件的横截面面积，或板壳的厚度分布；

（２）形状优化：优化变量为杆系结构的节点坐标，或

连续体的外形；（３）拓扑优化：优化变量为杆系结构

的节点布局、节点之间的杆件连接关系，或连续体开

孔的数量及位置等．

在尺寸和形状优化中，可以把杆件的横截面面

积，节点坐标或板壳的厚度作为设计变量，采用常规

的迭代方法（如数学规划方法或准则法）求解．拓扑

优化则有明显的区别．因为在拓扑优化问题中，存在

无穷多潜在的拓扑，在设计域内任意位置都可能存在

着节点，任意位置的任意方向也都可能存在杆件；或

在连续体内的任意一点都可能开有任意大小和形状

的孔．因此，人们不可能用有限个参数描述无限多的

拓扑．当然，目前拓扑优化数值方法都是将问题用有

限个参数近似表示，以便利用较为成熟的参数优化方

法求解．

结构拓扑优化研究方法目前有解析方法和数值

方法．Ｍｉｃｈｅｌｌ理论作为解析方法具有重要意义．数

值方法分别针对杆系和连续体两种结构．结构分析部

分都是采用有限元方法计算，数学优化方法主要有准则法，数学规划化法以及人工智能等算法．

虽然结构拓扑优化的概念已提出１００多年了，

但直到近十几年来才得到迅速的发展，可参见最近

发表的有关综述文章［１－５］．结构拓扑优化比尺寸和

形状优化节省材料更显著，被认为是一个更具有挑

战性的领域．可以广泛应用于建筑、机械、航空、航

天器、海洋工程及船舶制造等领域．

２结构拓扑优化的解析方法

Ｍａｘｗｅｌｌ在１８５４年首次进行了应力约束下最小

重量析架的基本拓扑分析．Ｍｉｃｈｅｌｌ［ｓ］在１９０４年用

解析分析的方法研究了应力约束、一个荷载作用下的

结构，得到最优析架所应满足的条件，后称为Ｍｉｃｈｅｌｌ

准则，并将符合Ｍｉｃｈｅｌｌ准则的析架称为Ｍｉｃｈｅｌｌ析

架．也称最小重量析架．这被认为是结构拓扑优化设

计理论研究的一个里程碑．

Ｍｉｃｈｅｌｌ理论在近几十年得到一些重要发展．

Ｃｏｘ［７］证明了Ｍｉｃｈｅｌｌ析架同时也是最小柔度设计．

Ｈｅｇｅｍｉｎｅｒ［￥）等将Ｍｉｃｈｅｌｌ准则推广到刚度、动力参

数约束，以及非线性弹性等情况．Ｈｅｍｐ（９１纠正了

其中的一些错误．Ｒｏｚｖａｎｙ［１０－１３］对Ｍｉｃｈｅｌｌ析架的

唯一性以及杆件的正交性做了讨论，对Ｍｉｃｈｅｌｌ准则

收稿日期：２００３－０９－２４，修回日期：２００４－１１－０５＊高等学校优秀青年教师教学科研奖励基金和华侨大学科研基金资助项目ｔ　Ｅ－ｍａｉｌ：　ｚｈｏｕｋｍ＠ｈｑｕ．ｅｄｕ．ｃｎ

万方数据做了进一步的修正．现在，已建立了多工况以及应力

和位移组合约束情况的优化准则［［１４］．在此期间，人

们也在不断努力寻找各种情况下Ｍｉｃｈｅｌｌ析架的解析

解答．Ｈｅｍｐ［９］研究了Ｍｉｃｈｅｌｌ析架的求解方法并

给出了一些重要解答．Ｒｏｚｖａｎｙ［１５，１６｝研究了在一个

集中力作用下，在一个直线支撑边界，或两个相交支

撑边界，或四边形设计域时四边全部支撑等情况下的

Ｍｉｃｈｅｌｌ析架的解答．研究发现，如果大部分边界被约

束，力的可能传输路线比较多时优化相对比较简单．

例如，直线边界被完全约束的凸域，Ｍｉｃｈｅｌｌ析架可

以最多由两个杆件组成（尽管也可以由更多的杆件组

成）．再比如，当矩形设计域的一个短边被约束，另一

个短边受一集中力作用时，寻找解答就比较困难了．

Ａ．　Ｃｈａｎ［１７］，　Ｈ．　Ｃｈａｎ［ｌｓ］和Ｌｅｗｉｎｓｋｉ［ｌ９］分别给出了

该问题各部分的解答．文献！２０－２３｝也介绍了几个

常用算例的解答．周克民等［２４，２５］提出了采用有限元

方法建立Ｍｉｃｈｅｌｌ析架的方法．以上讨论的大多都是

平面问题，这些方法同样可以应用到板弯曲问题［［１４］

上述结果虽然是在Ｍｉｃｈｅｌｌ之后发展起来的，但

习惯上仍称为Ｍｉｃｈｅｌｌ析架，或称广义Ｍｉｃｈｅｌｌ析架．

Ｍｉｃｈｅｌｌ析架是建立在严格的理论基础之上的，从而

它具有极其重要的理论价值．Ｍｉｃｈｅｌｌ朽架揭示了优

化拓扑的类析架特性；它是验证其它优化方法的最可

靠的标准之一；它可以同时求解出多个最优拓扑，而

数值方法仅能随机地得到其中的一个；目前该方法

也得到了几个简单实用的最优拓扑．Ｍｉｃｈｅｌｌ理论创

建已近百年，虽然经过许多著名学者的潜心研究，却

未能得到应有的发展，仍处于理论研究阶段，应用范

围非常有限．主要用于验证其它方法得到的解答的正

确性．Ｍｉｃｈｅｌｌ理论数学求解困难，且没有一般的求

解方法，目前为止也仅得到有限几个Ｍｉｃｈｅｌｌ析架的

解析解．一般情况下，其优化结果也并非工程意义上

的析架，而是非均质各向异性连续体（称为类析架结

构），不便于在工程实际中直接应用．扑优化．例如，对一个给定初始结构的杆系结构，先

进行截面尺寸优化，通过删除截面过小或为零的杆件

来实现拓扑优化．为研究未给定初始结构的拓扑，人

们在设计空间内规则地布置足够多的结点，再将每一

结点与所有其它结点用杆件连接起来形成基结构，然

后进行上述截面尺寸优化［２６］．在尺寸优化过程中，

删除截面过小的单元，实现拓扑优化．人们很快发现

其中存在的许多问题．主要反映在如下几个方面．

（１）当一个杆件截面趋近于零时，计算应力并不

趋近于零，存在所谓极限应力．表现为优化空间的奇

异性和数学优化过程的强非线性．这些使得寻找全局

最优解变得非常困难．程耿东等［２７３０］对此做了深

入地研究，他们将常用的应力约束改写成内力约束形

式，并做适当放松，使退化的可行子空间被扩充，使

问题得到很大程度的解决，取得重要进展．

（２）变量会随着结点的增加而剧烈增加，使数学

规划方法失去了效率，从而仅能求解极其简单的情

况．为克服这些问题，人们也进行了一些工作，如采

用准则法．为避免变量数目增加过快以及出现机构，

可以根据代数拓扑中的同调群理论，对结构进行拓扑

分析［２９］，目前应用效果还不理想．

（３）目前大多数算法中，由于难以建立杆件的恢

复策略，杆件一旦删除则很难恢复，这样就限制了寻

优路径，以至不能找到最优解．

（４）由于结点和杆件数量有限并事先给定，所以

目前该方法仅在一个离散子空间内寻找最优解，且有

可能找不到最优解．

为此，试图采用启发式算法，使结点和杆件可以

自由的增减，结构布局逐渐演化，使寻优过程沿一条

连续的路径逐渐逼近最优解［３１－３３］．目前这些研究仅

是刚刚开始，计算量过大，尚不实用．基结构方法可

以解决应力及位移约束等问题．

３结构拓扑优化的数值方法

解析方法的结果虽然准确但求解困难，不便于应

用．目前人们大多致力于研究数值求解方法，一般都

是将拓扑优化问题转化为参数优化问题，再借鉴目前

较为成熟的参数优化方法求解．

３．１力学模型

３．１．１杆系结构

基结构方法是用于研究杆系结构拓扑优化的一

种基本方法，这也是我们最容易理解和想到的方法．

由于尺寸和形状优化具有扎实的理论基础和完善的

计算方法，人们先是尝试把这些方法直接应用到拓３．１．２连续体结构

结构拓扑优化目前主要研究对象是连续体结

构．优化的基本方法是：将设计域划分为有限单元，

依据一定的算法删除部分区域，形成带孔的连续体，

实现连续体的拓扑优化．

从工程实际考虑，人们希望得到均质连续体，如

等厚均质带孔板．计算表明，这样的（０－１）规划问题

的解不存在［３４３６］．当目标函数降低时，离散的密度

函数出现震荡．为避免这一问题，可以增加约束，如

通过限制孔的边长来限制孔的数量［３７］．目前普遍采

用的方法是放松设计条件，将（０－１）规划问题转化为

设计参数连续变化问题，即允许中间参量甚至复合材

料存在．材料模型可以是各向同性，各向异性以及含

微结构材料３种情况．

第１种情况最简单、每个单元仅有一个设计变

万方数据量：扳厚，密度，独立连续拓扑变量等，便于采用准则

法，计算效率较高［［３８７１］．其中，独立连续拓扑变量

及映射变换方法ＩＣＭ［３８５５］是将拓扑变量从依附于

面积、厚度等尺寸优化层次变量上抽象出来，成为独

立的层次．依据拓扑变量的某一函数与阀值关系决定

单元取舍．该方法同样适用于杆系结构．（双向）进

化结构优化方法ＥＳＯ（ＢＥＳＯ卢６－６４］基本思想是通过

逐步删除参量最小的部分单元实现拓扑优化，每次删

除的单元不能过多．这类方法有时结果不够理想，甚

至不能得到正确解答［６７，６８］泡泡法［６９｝是在连续体

内和边界上形成孔洞（泡泡），通过孔洞及其它边界的

形状优化实现连续体的拓扑优化．优化过程包括新孔

的引入、定位，孔及其它边界的形状优化．最初这些

方法一般是针对应力约束问题提出的，但目前都可以

处理位移约束［５２，５３，６３］或刚度约束［６４］，也可以处理

多工况及三维问题．

第２种情况又称自由材料设计，具有最大的设计

自由度．优化变量为满足半正定条件的任意弹性张量

的所有分量．复合材料一般比各向同性材料更有效，

所以可能得到更精确的结果［７２７６］．这样的材料并不

与任何真实材料相对应．材料体积一般用弹性张量的

迹或两范数表示．其结果不便于工程应用，也难以形

象化表述［７７］．

第３种情况在目前研究较多［［７８８６］．它在设计域

内构造周期性分布的微结构，这些微结构是由同一种

各向同性材料实体与孔洞复合而成．在实际计算中，

采用有限元方法，在每个的单元内构造不同的微结构

作为设计变量．以二维连续体为例，微结构有两种形

式：

（１）矩形孔：每个单元内布置有如图１所示的

ａｘｂ矩形孔的微结构．因为微结构是可以旋转的，

所以还有一个描述角度的量ｖ．每个单元的优化变量

为ａ，　ｂ和倾角ｖ．虽然微结构不一定是矩形，但必须

能够充满空间，例如不能是圆．

（２）二阶材料：如图２所示，由二阶材料复合而

成．二阶材料的密度分别为１－＾ｙ和１－｝．优化变量为

ｌｒ，　ｗ和倾角ｌｐ一阶材料

图２二阶材料

每个单元有这样３个设计变量．采用复合材料

的均匀化理论，根据微结构的尺寸和方向计算出每

个单元材料的弹性矩阵，作为形成整体刚度矩阵的

依据．因此又称为均匀化方法．通过改变这３个设计

变量，优化实体与孔的分布，形成带孔洞的板，达到

结构拓扑优化的目的．对于复杂问题，二阶材料并不

正交，还会多出一个角度变量．对三维问题可以类似

定义三维微结构，变量也会相应增加．

在均匀化方法中，每个单元由孔洞和均匀各向同

性材料复合而成．从宏观上看，它与各向异性连续体

材料模型有等价关系，可以认为直接结果是各向异性

非均匀连续体．因此，它与第２种材料模型的机理

是相似的．另外，第１种材料模型也可以理解为后两

种材料模型的简化结果［８６］后两种材料模型理论推

导严谨，设计空间完备，但目前主要研究柔度优化设

计．而对工程上更为实用的应力约束研究较少［８７，８８］

因为柔度约束是整体约束，而应力约束是局部约束，

要求每一点都要满足，这使得该问题较难处理，有待

进一步研究．这里的柔度实际是变形能，又称比例位

移．它是各外力作用点处的位移的加权和，权函数为

对应点外力的大小．多工况下的目标函数一般取为各

工况下柔度的加权和［７５，８４］

当设计参量连续变化时，为避免刚度矩阵病态甚

至奇异，必须限定设计参量的下限值．当参量低于该

下限值时，取该下限值．此时，实际上完成的是尺寸

优化．如果不是取该下限值，而是删除该单元的话，

这才得到拓扑优化结果—带孔板．删除单元可以

减少以后结构分析计算工作量，但真正删除单元会引

起相应节点的删除，从而改变刚度矩阵的结构；删除

单元还有可能破坏结构的整体性，这些都会带来增加

编程的复杂性，带来太多的附加工作量．而且单元删

除后不便恢复．所以在实际计算时，为了简化计算，

一般并不真的删除参数小于或等于下限值的单元，而

是将其参数取为下限值，只是在最后结果中作为孔来

理解．在均匀化方法中，也可以在孔中填充弹性模量

较小的材料来避免刚度矩阵奇异．

这样得到的是变参量带孔板，在大部分区域存在

所谓“灰色密度”或“中间密度”．为得到清晰的（０－１）环｜｜１｜｜生雕

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图１矩形孔

万方数据